题目内容
【题目】如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE,已知:∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.
(1)试说明AC=EF;
(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)首先由Rt△ABC中,由∠BAC=30°可以得到AB=2BC,又由△ABE是等边三角形,EF⊥AB,由此得到AE=2AF,并且AB=2AF,然后证得△AFE≌△BCA,继而证得结论;
(2)根据(1)知道EF=AC,而△ACD是等边三角形,所以EF=AC=AD,并且AD⊥AB,而EF⊥AB,由此得到EF∥AD,再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形.
试题解析:(1)∵Rt△ABC中,∠BAC=30°,∴AB=2BC,又∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB,∴AB=2AF
∴AF=BC,在Rt△AFE和Rt△BCA中,∵AF=BC,AE=BA,∴Rt△AFE≌Rt△BCA(HL),∴AC=EF;
(2)∵△ACD是等边三角形,∴∠DAC=60°,AC=AD,∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
又∵EF⊥AB,∴EF∥AD,∵AC=EF,AC=AD,∴EF=AD,∴四边形ADFE是平行四边形.
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