Question

如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动．  
(1)点E、F的移动过程中，△OEF是否能成为∠EOF=45°的等腰三角形？若能，请指出    
△OEF为等腰三角形时动点E、F的位置．若不能，请说明理由．  
(2)当∠EOF=45°时，设BE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围．  
(3)在满足(2)中的条件时，若以O为圆心的圆与AB相切（如图），试探究直线EF与的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

解：(1)点E、F移动的过程中，AOEF能成为∠EOF=45°的等腰三角形． 
 此时点E，F的位置分别是： 
 ①E是BA的中点，F与A重合．
 ②BE=CF=  ③E与A重合，F是AC的中点．  
(2)在AOEB和△F OC中，  
∠EOB+∠FOC=135°，∠EOB+∠OEB＝135°，  
∴∠FOC=∠OEB.
又∵∠B＝∠C，  
∴△OEB∽△FOC
∴
∵BE＝x,CF＝y,    OB=OC=
∴y=  
(3)EF与⊙O相切，
∴△OEB∽△FOC
∴．即
 又∵∠B=∠EOF=45°，
∴△BEO∽△OEF.  
∴∠BEO+∠OEF ∴点O到AB和EF的距离相等．  
∵AB与⊙O相切，  
∴点O到EF的距离等于⊙O的半径，  
∴EF与⊙O相切．