题目内容
【题目】如图,己知△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,作∠ABC的角平分线交AC于D,以D为圆心,DA为半径作圆,与射线交于点E、F.有下列结论: ①△ABC是直角三角形;②⊙D与直线BC相切;③点E是线段BF的黄金分割点;④tan∠CDF=2.
其中正确的结论有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【答案】A
【解析】解:∵32+42=52 , ∴AB2+AC2=AB2 ,
∴△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,①正确;
作DM⊥BC于M,如图所示:
∵BD是∠ABC的平分线,
∴DM=DA,
∴⊙D与直线BC相切,
∴②正确;
∵∠BAC=∠DMC=90°,
在Rt△BDM和△BDA中, ,
∴Rt△BDM≌△BDA(HL),
∴MB=AB=3,
∴CM=BC﹣MB=2,
∵∠C=∠C,
∴△CDM∽△CBA,
∴ ,即
,
解得:DM= ,
∴DF=DE= ,
∴BD= =
=
,
∴BE=BD﹣DE= ﹣
,BF=BD+DF=
+
,
∵EF2=9,BFBE=( +
)(
﹣
)=9,
∴EF2=BFBE,
∴点E是线段BF的黄金分割点,③正确;
∵tan∠CDF=tan∠ADB= =
=2,
∴④正确;
正确的有4个.
故选:A.
【考点精析】通过灵活运用切线的判定定理和黄金分割,掌握切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;把线段AB分成两条线段AC,BC(AC>BC),并且使AC是AB和BC的比例中项,叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,其中AC=0.618AB即可以解答此题.

【题目】某市雾霾天气趋于严重,甲商场根据民众健康需要,代理销售每台进价分别为600元、560
元的 A、B 两种型号的空气净化器,如表是近两周的销售情况:(进价、售价均保持不变,利润=销
售收入进货成本)
销售时段 | 销售数量 | 销售收入 (元) | |
A种型号 (台) | B种型号 (台) | ||
第一周 | 3 | 2 | 3960 |
第二周 | 5 | 4 | 7120 |
(1)求 A,B 两种型号的空气净化器的销售单价;
(2)该商店计划一次购进两种型号的空气净化器共30台,其中B型净化器的进货量不超过A型的2倍.设购进A型空气净化器为x台,这30台空气净化器的销售总利润为y元.
①请写出y关于x的函数关系式;
②该商店购进A型、B型净化器各多少台,才能使销售总利润最大?
【题目】唐山质量监督局从某食品厂生产的袋装食品中抽出样品20袋,检测每袋的质量是否符合标准,把超过或不足的部分分别用正、负数来表示,记录如下表:
与标准质量的差值(单位:克) | ﹣6 | ﹣2 | 0 | 1 | 3 | 4 |
袋数 | 1 | 4 | 3 | 4 | 5 | 3 |
(1)若每袋食品的标准质量为450克,则抽样检测的20袋食品的总质量是多少克?
(2)若该种食品的合格标准为450±5克,求该种食品抽样检测的合格率?