题目内容

【题目】如图,己知△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,作∠ABC的角平分线交AC于D,以D为圆心,DA为半径作圆,与射线交于点E、F.有下列结论: ①△ABC是直角三角形;②⊙D与直线BC相切;③点E是线段BF的黄金分割点;④tan∠CDF=2.
其中正确的结论有(

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

【答案】A
【解析】解:∵32+42=52 , ∴AB2+AC2=AB2
∴△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,①正确;
作DM⊥BC于M,如图所示:
∵BD是∠ABC的平分线,
∴DM=DA,
∴⊙D与直线BC相切,
∴②正确;
∵∠BAC=∠DMC=90°,
在Rt△BDM和△BDA中,

∴Rt△BDM≌△BDA(HL),
∴MB=AB=3,
∴CM=BC﹣MB=2,
∵∠C=∠C,
∴△CDM∽△CBA,
,即
解得:DM=
∴DF=DE=
∴BD= = =
∴BE=BD﹣DE= ,BF=BD+DF= +
∵EF2=9,BFBE=( + )( )=9,
∴EF2=BFBE,
∴点E是线段BF的黄金分割点,③正确;
∵tan∠CDF=tan∠ADB= = =2,
∴④正确;
正确的有4个.
故选:A.

【考点精析】通过灵活运用切线的判定定理和黄金分割,掌握切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;把线段AB分成两条线段AC,BC(AC>BC),并且使AC是AB和BC的比例中项,叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,其中AC=0.618AB即可以解答此题.

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