Question

如图，已知P、A、B是x轴上的三点，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），且PA：AB=1：2，以AB为直径画⊙M交y轴的正半轴于点C．
（1）求证：PC是⊙M的切线；
（2）在x轴上是否存在这样的点Q，使得直线QC与过A、C、B三点的抛物线只有一个交点？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）画⊙N，使得圆心N在x轴的负半轴上，⊙N与⊙M外切、且与直线PC相切于D．问将过A、C、B三点的抛物线平移后能否同时经过P、D、A三点，为什么？

Answer 1

分析：（1）证PC是⊙M的切线，只需连接CM，证CM⊥PC即可．已知了PA：AB=1：2．因此PA=AM．根据A和B的坐标可知AB=4，因此AO=MO=1，MC=2，在直角三角形MOC中，∠CMO=60°，由此可得出三角形AMC是等边三角形，因此AC=AM=PA，由此可证得三角形PCM是直角三角形，且∠PCM=90°，由此得证．
（2）可假设符合条件的Q点存在，先设出Q点的坐标，然后根据Q和C的坐标，表示出直线QC的函数解析式，然后联立抛物线的解析式，由于这两个函数图象只有一个交点，因此联立两函数得出的一元二次方程中，△=0，可据此求出Q点的坐标．
（3）本题要先求出D点坐标，可连接DN，那么DN∥MC，即可得出关于DN，MC，PN，PM的比例关系式，即可求出圆N的半径．然后过D作DH⊥x轴于H，可在直角三角形PDN中，用射影定理求出NE的长，进而可求出DE的长，也就求出了D点的坐标．然后先求出经过平移后过P、A的抛物线的解析式，然后将D点坐标代入进行验证即可．

解答：（1）证明：连接MC．
∵A（-1，0），B（3，0）
∴AO=MO，又CO⊥AM
∴AC=CM，由CM=AM
∴△ACM是正三角形；
∴AC=AM
∵PA：PB=1：2，
∴PA=AM
∴PA=AM=AC
∴∠PCM=90°
∴PC是⊙M的切线．

（2）解：∵CO²=AO•BO，
∴C（0，

3

）；
设过A、C、B三点的抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
则

3

=-3a，a=-

3

3

．
∴y=-

3

3

（x+1）（x-3）．
假设满足条件的Q点存在，坐标为（m，0），并设直线QC的解析式为y=kx+b，
则

3 =b mk+b=0

，
解得

b= 3 k=- 3 m

∴直线QC的解析式为y=-

3

m

x+

3

∵直线QC与抛物线只有一个公共点
∴方程-

3

3

（x+1）（x-3）=-

3

m

x+

3

有相等的实数根，
将方程整理得x²-（2+

3

m

）x=0；
∴（2+

3

m

）²=0，m=-

3

2

．
即满足条件的Q点存在，坐标为（-

3

2

，0）．

（3）解：连接DN，作DH⊥PN，垂足为H，设⊙N的半径为r；
∵ND⊥PC，
∴ND∥MC；
∴

ND

MC

=

PN

PM

，
∴

r

2

=

2-r

4

，
∴r=

2

3

．
∵DN²=NH•NP
∴（

2

3

）²=NH•（2-

2

3

）
∴NH=

1

3

，
∴DH=

NH•HP

=

3

3

．
∴点D的坐标为（-2，

3

3

）
∵将抛物线y=-

3

3

（x+1）（x-3）平移，使其经过P、A两点的抛物线的解析式为y=-

3

3

（x+1）（x+3）；又经验证D是该抛物线上的点．
∴将过A、C、B三点的抛物线平移后能同时经过P、D、A三点．

点评：本题以二次函数为背景，结合圆、函数图象的交点、二次函数图象的平移等问题，综合性较强．