Question

【题目】如图，已知二次函数y= x2+ x﹣ 的图象与x轴交于点 A，B，交 y 轴于点 C，抛物线的顶点为 D．

（1）求抛物线顶点 D 的坐标以及直线 AC 的函数表达式；
（2）点 P 是抛物线上一点，且点P在直线 AC 下方，点 E 在抛物线对称轴上，当△BCE 的周长最小时，求△PCE 面积的最大值以及此时点 P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点 P 且平行于 AC 的直线分别交x轴于点 M，交 y 轴于点N，把抛物线y= x2+ x﹣ 沿对称轴上下平移，平移后抛物线的顶点为 D'，在平移的过程中，是否存在点 D'，使得点 D'，M，N 三点构成的三角形为直角三角形，若存在，直接写出点 D'的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：y= x2+ x﹣ = （x+1）2﹣ ，顶点D的坐标为（﹣1，﹣ ），

当y=0时， x2+ x﹣ =0，解得x1=﹣3，x2=1，

∴A（﹣3，0），B（1，0）．

当x=0时，y=﹣ ，

∴C（0，﹣ ），

∴直线AC的解析式为y=﹣ x﹣

（2）解：∵△CPE得周长为BC+CE+BE，其中BC的长是固定的，

∴周长取得最小值就是BE+CE取得最小值，

∵点E是抛物线对称轴上一点，

∴BE=AE，

∴BE+CE=AE+CE，

∴BE+CE的最小值是AC，点E是AC与对称轴的交点．

∴点E为（﹣1，﹣ ）．

∵点P是抛物线上x轴下方一点，设点P为（t， t2+ t﹣ ）．且 t2+ t﹣ ＜0．

过点P作QP⊥x轴交直线AC于点Q，点Q坐标为（t，﹣ t﹣ ）．

当点p在对称轴左侧时，S△PCE=S△PCQ﹣S△PEQ= PQ（0﹣t）﹣ PQ（﹣1﹣t）= PQ，

当点P在对称轴的右侧时，S△PCE=S△PCQ+S△PEQ= PQ（0﹣t）+ PQ[t﹣（﹣1）]= PQ，

∵PQ=（﹣ t﹣ ）﹣（ t2+ t﹣ ）=﹣ t2﹣ t，

∴S△PCE= PQ=﹣ t2﹣ t=﹣ （t+ ）2+ ．

当t=﹣ 时，△PEC的面积最大，最大值是 ，此时，点P的坐标为（﹣ ，﹣ ）

（3）解：经过点P且平行于AC的直线MN的解析式为y=﹣ x﹣ ，

当x=0时，y=﹣ ，即N（0，﹣ ），当y=0时，x=﹣ ，即M（﹣ ，0），

设点D′的坐标为（﹣1，d），则MN2=（﹣ ）2+（﹣ ）2= ，MD′2=[﹣ ﹣（﹣1）]2+d2= +d2，ND′2=（﹣1）2+（﹣ ﹣d）2=d2+ d+ ．

当∠MD′N=90°时，MD′2+ND′2=MN2，即 +d2+d2+ d+ = ，

整理，得4d2+7 d﹣17=0，解得d1= ，d2= ，

当∠NMD′=90°时，MD′2=ND′2+MN2，即 +d2=d2+ d+ + ，

化简，得 d=﹣ ，解得d=﹣ ，

当∠NMD′﹣90°时，ND′2=MD′2+MN2，即d2+ d+ = +d2+ ，

化简，得 d= ，解得d= ，

∴存在点 D'，使得点 D'，M，N 三点构成的三角形为直角三角形，D′点的坐标为（﹣1， ）（﹣1， ），（﹣1， ）（﹣1 ）

【解析】（1）利用配方法可配成顶点式，求出顶点坐标；（2）△BCE 的周长最小，即CE+BE最小，由对称法可求得点E在AC与对称轴的交点处时，△BCE 的周长最小，△PCE 面积的最大值可运用函数思想，设点P的横坐标为t，其纵坐标用t的代数式表示，作出x轴垂线，把△PCE 分割为两个有竖直边的三角形，构建关于面积的函数，配成顶点式求出最值；（3）D'，M，N 三点构成的三角形为直角三角形须分类讨论：∠MD′N=90°或∠NMD′=90°或∠NMD′﹣90°，利用勾股定理列出方程.