题目内容
【题目】如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣4，4）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）． 
（1）∠PBD的度数为 ， 点D的坐标为（用t表示）；
（2）当t为何值时，△PBE为等腰三角形？
（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．
【答案】
（1）解：45°；（t，t）
（2）解：①若PB=PE，
由△PAB≌△DQP得PB=PD，
显然PB≠PE，
∴这种情况应舍去．
②若EB=EP，
则∠PBE=∠BPE=45°．
∴∠BEP=90°．
∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC．
在△POE和△ECB中，
∴△POE≌△ECB（AAS）．
∴OE=CB=OC．
∴点E与点C重合（EC=0）．
∴点P与点O重合（PO=0）．
∵点B（﹣4，4），
∴AO=CO=4．
此时t=AP=AO=4．
③若BP=BE，
在Rt△BAP和Rt△BCE中，
∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．
∴AP=CE．
∵AP=t，
∴CE=t．
∴PO=EO=4﹣t．
∵∠POE=90°，
∴PE= 
= 
（4﹣t）．
延长OA到点F，使得AF=CE，连接BF，如图2所示．
在△FAB和△ECB中，
∴△FAB≌△ECB．
∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．
∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠EBC=45°．
∴∠FBP=∠FBA+∠ABP
=∠EBC+∠ABP=45°．
∴∠FBP=∠EBP．
在△FBP和△EBP中，
∴△FBP≌△EBP（SAS）．
∴FP=EP．
∴EP=FP=FA+AP
=CE+AP．
∴EP=t+t=2t．
∴ （4﹣t）=2t．
解得：t=4 ﹣4
∴当t为4秒或（4 ﹣4）秒时，△PBE为等腰三角形
（3）解：∵EP=CE+AP，
∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE
=AO+CO
=4+4
=8．
∴△POE周长是定值，该定值为8
【解析】解：（1）如图1， 
由题可得：AP=OQ=1×t=t（秒）
∴AO=PQ．
∵四边形OABC是正方形，
∴AO=AB=BC=OC，
∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．
∵DP⊥BP，
∴∠BPD=90°．
∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ．
∵AO=PQ，AO=AB，
∴AB=PQ．
在△BAP和△PQD中，
∴△BAP≌△PQD（AAS）．
∴AP=QD，BP=PD．
∵∠BPD=90°，BP=PD，
∴∠PBD=∠PDB=45°．
∵AP=t，
∴DQ=t．
∴点D坐标为（t，t）．
故答案为：45°，（t，t）．
（1）易证△BAP≌△PQD，从而得到DQ=AP=t，从而可以求出∠PBD的度数和点D的坐标．（2）由于∠EBP=45°，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到EP=AP+CE．由于△PBE底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的t值．（3）由（2）已证的结论EP=AP+CE很容易得到△POE周长等于AO+CO=8，从而解决问题．
