Question

如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD=∠B=30°，边BD交⊙O于点D．
（1）BD是⊙O的切线吗？为什么？
（2）若AC=10，求线段BC的长度．

Answer 1

分析：（1）BD是⊙O的切线，由∠BAD=∠B=30°，可计算出∠ADB的度数，再根据AO=DO，可得∠A=∠ADO=30°，进而算出∠ODB=90°即可证出结论；
（2）根据AC的长计算出OC和OD的长，再根据含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可计算出BO的长，然后利用勾股定理计算出BD的长即可．

解答：（1）BD是⊙O的切线，
证明：∵∠BAD=∠B=30°，
∴∠ADB=180°-30°-30°=120°，
∵AO=DO，
∴∠A=∠ADO=30°，
∴∠ODB=120°-30°=90°，
∴BD是⊙O的切线；

（2）解：∵AC=10，
∴CO=5，
∴DO=5，
∵∠B=30°，
∴BO=2DO=10，
在Rt△OBD中：BD=

BO2-DO2

=

100-25

=5

3

．

点评：此题主要考查了切线的判定与性质，以及含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．