Question

【题目】如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．

（1）求证：DE=DB；

（2）若∠BAC=90°，BD=5，求△ABC外接圆的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】试题分析：

（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出 ，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；

（2）由（1）得： ，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC的值，即可得出△ABC外接圆的半径．

（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，

∴，

∴∠DBC=∠CAD，

∴∠DBC=∠BAE，

∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，

∴∠DBE=∠DEB，

∴DE=DB；

（2）解：连接CD，如图所示：

由（1）得：，

∴CD=BD=5，

∵∠BAC=90°，

∴BC是直径，

∴∠BDC=90°，

∴BC==5，

∴△ABC外接圆的半径=×5=．