题目内容
【题目】已知四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P，G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．
（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．
①求证：DF=PG；
②若AB=3，PC=1，求四边形PEFD 的面积；
（2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
【答案】（1）①详见解析；②8；（2）（2）四边形PEFD是菱形，证明详见解析
【解析】
（1）①根据四边形ABCD为正方形得AD=CD ，然后证明△ADF≌△CDP，则DF=DP，得到DF=PG；
②先判断四边形PEFD是菱形，然后求出PG=DP=
，过点P作PM⊥AD于点M，则四边形CDMP是矩形，则△DHG∽△PMG，根据相似三角形的性质，即可求出答案；
（2）根据四边形ABCD为正方形得AD=AB，由四边形ABPM为矩形得AB=PM，则AD=PM，再利用等角的余角相等得到∠GDH=∠MPG，于是可根据“ASA”证明△ADF≌△MPG，得到DF=PG，加上PD=PG，得到DF=PD，然后利用旋转的性质得∠EPG=90°，PE=PG，所以PE=PD=DF，再利用DF⊥PG得到DF∥PE，于是可判断四边形PEFD为平行四边形，加上DF=PD，则可判断四边形PEFD为菱形．
解：（1）①证明 ∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD ，∠A= ∠C=∠ADC=90°，
∵DF⊥PG，
∴∠DHG=90°，
∴∠HGD+∠ADF=90°，∠CDP+∠PDG=90°，
∵ PD=PG ，
∴∠PGD=∠PDG，
∴∠ADF=∠CDP，
∴△ADF≌△CDP（ASA），
∴DF=DP，
∵ PD=PG，
∴DF=PG；
②∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE
∴∠GPE=∠DHG=90°， PG=PE=DF= PD
∴PE∥DF
∴四边形PEFD是菱形
在Rt△DCP中，AD=AB=3，PC=1，PG=DP=
过点P作PM⊥AD于点M，则四边形CDMP是矩形
∴DM=MG=PC=1，DG=2DM=2，
∠PMG=∠DHG=90°，∠DGH=∠PGM
∴△DHG∽△PMG
∴
即
∴GH=
， PH=PG-GH=
由（1）DF=DP=
∴四边形PEFD的面积是
=×=8 ；
（2）四边形PEFD是菱形 ；
作PM⊥DG于M，如图2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，
∵四边形ABPM为矩形，
∴AB=PM，
∴AD=PM，
∵DF⊥PG，
∴∠DHG=90°，
∵∠MGP+∠MPG=90°，
∴∠GDH=∠MPG，
在△ADF和△MPG中
，
∴△ADF≌△MPG（ASA），
∴DF=PG，而PD=PG，
∴DF=PD，
∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，
∴∠EPG=90°，PE=PG，
∴PE=PD=DF而DF⊥PG，
∴DF∥PE，且DF =PE，
∴四边形PEFD为平行四边形，
∵DF=PD，
∴四边形PEFD为菱形．
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【题目】上海市为了增强居民的节水意识，避免水资源的浪费，全面实施居民“阶梯水价”．当累计水量达到年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和价格见下表．
分档 | 户年用水量 （立方米） | 自来水价格 （元/立方米） | 污水处理费 （元/立方米） |
第一阶梯 | 0-220（含220） | 1.92 | 1.70 |
第二阶梯 | 220-300（含300） | 3.30 | 1.70 |
第三阶梯 | 300以上 | 4.30 | 1.70 |
注：1．应缴纳水费 = 自来水费总额 + 污水处理费总额 2．应缴纳污水处理费总额 = 用水量×污水处理费× 0.9 | |||
仔细阅读上述材料，请解答下面的问题，并把答案写在答题纸上：
（1）小静家2019年上半年共计用水量100立方米，应缴纳水费 元；
（2）小静家全年缴纳的水费共计1000.5元，那么2019年全年用水量为 立方米；
（3）如图所示是上海市“阶梯水价”y与用水量x的函数关系，那么第二阶梯（线段AB）的函数解析式为 ，定义域 ．
