Question

已知：如图正方形ABCD，E是BC的中点，F在AB上，且BF=

1

4

AB，猜想EF与DE的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：由四边形ABCD是正方形，可得∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，又由E是BC的中点，F在AB上，且BF=

1

4

AB，即可证得

BF

EC

=

BE

CD

=

1

2

，然后由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可证得△BEF∽△CDE，继而可求得∠DEF=90°，即可证得EF⊥DE．

解答：解：EF⊥DE．理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，
∵E是BC的中点，BF=

1

4

AB，
∴BE=EC=

1

2

BC，
∴BF=

1

2

EC，BE=

1

2

CD，
∴

BF

EC

=

BE

CD

=

1

2

，
∴△BEF∽△CDE，
∴∠BEF=∠CDE，
∵∠CDE+∠CED=90°，
∴∠BEF+∠CED=90°，
∴∠DEF=90°，即EF⊥DE．

点评：此题考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．