题目内容

已知:如图正方形ABCD,E是BC的中点,F在AB上,且BF=
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AB,猜想EF与DE的位置关系,并说明理由.
分析:由四边形ABCD是正方形,可得∠B=∠C=90°,AB=BC=CD,又由E是BC的中点,F在AB上,且BF=
1
4
AB,即可证得
BF
EC
=
BE
CD
=
1
2
,然后由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,即可证得△BEF∽△CDE,继而可求得∠DEF=90°,即可证得EF⊥DE.
解答:解:EF⊥DE.理由:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠C=90°,AB=BC=CD,
∵E是BC的中点,BF=
1
4
AB,
∴BE=EC=
1
2
BC,
∴BF=
1
2
EC,BE=
1
2
CD,
BF
EC
=
BE
CD
=
1
2

∴△BEF∽△CDE,
∴∠BEF=∠CDE,
∵∠CDE+∠CED=90°,
∴∠BEF+∠CED=90°,
∴∠DEF=90°,即EF⊥DE.
点评:此题考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.
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