Question

（2012•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；
（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM²=B′M²+B′D²，若∠DB′M=90°，则DM²=B′M²+B′D²，若∠B′DM=90°，则B′M²=B′D²+DM²去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；
（3）分别从当0≤t≤

4

3

时，当

4

3

＜t≤2时，当2＜t≤

10

3

时，当

10

3

＜t≤4时去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）如图①，
设正方形BEFG的边长为x，
则BE=FG=BG=x，
∵AB=3，BC=6，
∴AG=AB-BG=3-x，
∵GF∥BE，
∴△AGF∽△ABC，
∴

AG

AB

=

GF

BC

，
即

3-x

3

=

x

6

，
解得：x=2，
即BE=2；

（2）存在满足条件的t，
理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，
则BH=AD=2，DH=AB=3，
由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t-2|，EC=4-t，
∵EF∥AB，
∴△MEC∽△ABC，
∴

ME

AB

=

EC

BC

，即

ME

3

=

4-t

6

，
∴ME=2-

1

2

t，
在Rt△B′ME中，B′M²=ME²+B′E²=2²+（2-

1

2

t）²=

1

4

t²-2t+8，
在Rt△DHB′中，B′D²=DH²+B′H²=3²+（t-2）²=t²-4t+13，
过点M作MN⊥DH于N，
则MN=HE=t，NH=ME=2-

1

2

t，
∴DN=DH-NH=3-（2-

1

2

t）=

1

2

t+1，
在Rt△DMN中，DM²=DN²+MN²=

5

4

t²+t+1，
（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM²=B′M²+B′D²，
即

5

4

t²+t+1=（

1

4

t²-2t+8）+（t²-4t+13），
解得：t=

20

7

，
（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D²=B′M²+DM²，
即t²-4t+13=（

1

4

t²-2t+8）+（

5

4

t²+t+1），
解得：t₁=-3+

17

，t₂=-3-

17

（舍去），
∴t=-3+

17

；
（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M²=B′D²+DM²，
即：

1

4

t²-2t+8=（t²-4t+13）+（

5

4

t²+t+1），
此方程无解，
综上所述，当t=

20

7

或-3+

17

时，△B′DM是直角三角形；

（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，
即2：3=CE：4，
∴CE=

8

3

，
∴t=BB′=BC-B′E-EC=6-2-

8

3

=

4

3

，
∵ME=2-

1

2

t，
∴FM=

1

2

t，
当0≤t≤

4

3

时，S=S_△FMN=

1

2

×t×

1

2

t=

1

4

t²，
②如图④，当G在AC上时，t=2，
∵EK=EC•tan∠DCB=EC•

DH

CH

=

3

4

（4-t）=3-

3

4

t，
∴FK=2-EK=

3

4

t-1，
∵NL=

2

3

AD=

4

3

，
∴FL=t-

4

3

，
∴当

4

3

＜t≤2时，S=S_△FMN-S_△FKL=

1

4

t²-

1

2

（t-

4

3

）（

3

4

t-1）=-

1

8

t²+t-

2

3

；
③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，
即B′C：4=2：3，
解得：B′C=

8

3

，
∴EC=4-t=B′C-2=

2

3

，
∴t=

10

3

，
∵B′N=

1

2

B′C=

1

2

（6-t）=3-

1

2

t，
∵GN=GB′-B′N=

1

2

t-1，
∴当2＜t≤

10

3

时，S=S_梯形GNMF-S_△FKL=

1

2

×2×（

1

2

t-1+

1

2

t）-

1

2

（t-

4

3

）（

3

4

t-1）=-

3

8

t²+2t-

5

3

，
④如图⑥，当

10

3

＜t≤4时，
∵B′L=

3

4

B′C=

3

4

（6-t），EK=

3

4

EC=

3

4

（4-t），B′N=

1

2

B′C=

1

2

（6-t），EM=

1

2

EC=

1

2

（4-t），
S=S_梯形MNLK=S_{梯形B′EKL}-S_{梯形B′EMN}=-

1

2

t+

5

2

．
综上所述：
当0≤t≤

4

3

时，S=

1

4

t²，
当

4

3

＜t≤2时，S=-

1

8

t²+t-

2

3

；
当2＜t≤

10

3

时，S=-

3

8

t²+2t-

5

3

，
当

10

3

＜t≤4时，S=-

1

2

t+

5

2

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．