Question

已知等腰三角形一腰的中线长为7.5，顶角平分线长为9，那么这个三角形的面积是

1. A.
   31.5
2. B.
   36
3. C.
   54
4. D.
   67.5

Answer 1

B
分析：设CF，AD分别是等腰三角形腰AB上的中线和顶角的角平分线，延长CF到G，使FG=CF，连接AG，根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD是BC边上的中线，从而可得到点H为△ABC的重心，即可求得HF，AH的长，再根据SAS判定△AFG≌△BFC，由全等三角形的性质及平行线的性行可得到AG=BC，∠GAD=90°从而利用勾股定理即可求得AG的长，则此时不难求三角形的面积．
解答：解：如图，设CF，AD分别是等腰三角形腰AB上的中线和顶角的角平分线，延长CF到G，使FG=CF，连接AG．
∵AD是BC边上的高，AB=AC，
∴AD是BC边上的中线，
∵CF是腰AB上的中线，
∴点H为△ABC的重心，
∵CF=7.5，AD=9，
∴HF=CF=2.5，AH=AD=6，
∵AF=BF，CF=GF，∠AFG=∠BFC，
∴△AFG≌△BFC，
∴AG=BC，∠G=∠FCB，
∴AG∥BC，
∵AD⊥BC，
∴∠GAD=90°，
∴AG===8，
∴BC=8，
∴S_△ABC=BC×AD=×8×9=36．
故选B．
点评：此题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定及性质的综合运用，关键是辅助线的添加方法．