Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是射线AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，直线PD交直线BC于点E．

（1）若点D是AC的中点，求⊙P的半径AP的长；

（2）若AP=2，求CE的长；

（3）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，点P在运动的过程中，当点D、C、 I、P构成一个平行四边形时，请直接写出所有AP的长。

Answer 1

【答案】（1）AP=；（2）CE=；（3）AP=或AP=

【解析】试题分析：（1）过点P作PF⊥y轴于点F，由锐角三角函数的定义得出tan∠PAF===，再根据垂径定理得出AF的长，根据勾股定理即可得出结论；（2）由相似三角形的判定定理得出△ABC∽△DEC，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB的长，再根据锐角三角函数的定义即可得出结论；（3）根据点P在线段AB上，点E在线段BC延长线上；点P在线段AB上，点E在线段BC上；点P在线段AB的延长线上三种情况进行分类讨论．

试题解析：（1）过点P作PF⊥y轴于点F，

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴tan∠PAF===，

∵点D是AC的中点，

∴AD=2，

∴AF=1，

∴=,解得PF=，

∴AP= ==.

(2)∵AP=DP，

∴∠PAD=∠PDA．

∵∠PDA=∠CDE，

∴∠PAD=∠CDE．

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴△ABC∽△DEC．

∴∠ABC=∠DEC， ．

∴PB=PE．

Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=5．

∵AP=2，

∴PB=PE=3，DE=1

∴，CE=．

（3）AP=或AP=．

设AP=x，

①如果点P在线段AB上，点E在线段BC延长线上时（如图2），

由（2）知，△ABC∽△DEC，

∴

∴，DC=（5-2x）,

当DC=PI时，点D、C、 I、P构成一个平行四边形，由DC=PI得，（5-2x）= x，x=；

②如果点P在线段AB上，点E在线段BC上时（如图3），

DC=（2x -5）, 当DC=PI时，点D、C、 I、P构成一个平行四边形，

由DC=PI得，（2x -5）= x，x=，

∵＞5，与点P在线段AB上矛盾，∴x=舍去．

③如果点P在线段AB的延长线上（如图4），

点E在线段BC的延长线上时， DC=（2x -5）, 当DC=PI时，点D、C、 I、P构成一个平行四边形，由DC=PI得，（2x -5）= x，x=．