Question

【题目】如图，已知抛物线y=m（x+1）（x﹣2）（m为常数，且m＞0）与x轴从左至右依次交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=OC，经过点B的直线与抛物线的另一交点D在第二象限．

（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若∠DBA=30°，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：抛物线y=m（x+1）（x﹣2）（m为常数，且m＞0）与x轴从左至右依次交于A、B两点，

令y=0，解得x=﹣1或x=2，

则A（﹣1，0），B（2，0），

∵OA=OC，

∴C（0，﹣1），

∵点C（0，﹣1）在抛物线y=m（x+1）（x﹣2）上，

∴m×（0+1）×（0﹣2）=﹣1，

解得m= ．

∴抛物线的函数表达式为：y= （x+1）（x﹣2）

（2）

解：∵∠DBA=30°，

∴设直线BD的解析式为y=﹣ x+b，

∵B（2，0），

∴0=﹣ ×2+b，解得b= ，

故直线BD的解析式为y=﹣ x+ ，

联立两解析式可得 ，

解得 ， ．

则D（﹣ ， ），

如图，过点D作DN⊥x轴于点N，过点D作DK∥x轴，

则∠KDF=∠DBA=30°．

过点F作FG⊥DK于点G，则FG= DF．

由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+ DF，

∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．

由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．

过点A作AH⊥DK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求的F点．

∵A点横坐标为﹣1，直线BD解析式为：y=﹣ x+ ，

∴y=﹣ ×（﹣1）+ = ，

∴F（﹣1， ）．

综上所述，当点F坐标为（﹣1， ）时，点M在整个运动过程中用时最少

【解析】（1）首先求出点A、B坐标，然后根据OA=OC，求得点D坐标，代入抛物线y=m（x+1）（x﹣2）（m为常数，且m＞0），求得抛物线解析式；（2）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+ DF．如答图3，作辅助线，将AF+ DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．