题目内容
(2013•竹溪县模拟)已知抛物线C1:y=x2-2mx+n(m,n为常数,且m≠0,n<0)的顶点为A,与y轴交于点C;抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称,其顶点为B,连接AC,BC,AB.
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(1)请直接写出抛物线C2的解析式;
(2)当m=1时,判定△ABC的形状,并说明理由;
(3)当△ABC为等边三角形时,请求出m的值;并说明理由.
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(1)请直接写出抛物线C2的解析式;
(2)当m=1时,判定△ABC的形状,并说明理由;
(3)当△ABC为等边三角形时,请求出m的值;并说明理由.
分析:(1)根据轴对称的性质可得:关于y轴对称,纵坐标不变,横坐标互为相反数,即可求得;
(2)设AB与y轴交于点D,先由轴对称的性质得出AC=BC,则△ABC是等腰三角形,再根据m=1时,可得AD=CD=1,∠BCD=∠ACD=45°,从而得出△ABC为等腰直角三角形;
(3)先求出AD=|m|,CD=m2,再根据△ABC为等边三角形得出∠CAD=60°,然后在Rt△ACD中利用正切函数的定义列出关于m的方程,解方程即可.
(2)设AB与y轴交于点D,先由轴对称的性质得出AC=BC,则△ABC是等腰三角形,再根据m=1时,可得AD=CD=1,∠BCD=∠ACD=45°,从而得出△ABC为等腰直角三角形;
(3)先求出AD=|m|,CD=m2,再根据△ABC为等边三角形得出∠CAD=60°,然后在Rt△ACD中利用正切函数的定义列出关于m的方程,解方程即可.
解答:解:(1)∵抛物线C1、C2关于y轴对称,抛物线C1:y=x2-2mx+n,
∴抛物线C2的解析式为:y=(-x)2-2m(-x)+n,即y=x2+2mx+n;
(2)当m=1时,△ABC为等腰直角三角形.理由如下:
如图,设AB与y轴交于点D.
∵抛物线C1、C2关于y轴对称,
∴顶点A与顶点B关于y轴对称,
又∵点C、D都在y轴上,
∴AC=BC,CD⊥AB,∠BCD=∠ACD.
当m=1时,∵抛物线C1:y=x2-2x+n=(x-1)2+n-1,
∴顶点A的坐标为A(1,n-1),
∴D点坐标为(0,n-1),AD=1.
又∵点C的坐标为(0,n),
∴CD=n-(n-1)=1,
∴AD=CD,
∴∠ACD=45°,
∴∠BCD=∠ACD=45°,
∴∠ACB=90°,
∴△ABC为等腰直角三角形;
(3)∵抛物线C1:y=x2-2mx+n=(x-m)2+n-m2,
∴顶点A的坐标为A(m,n-m2),
∴D点坐标为(0,n-m2),AD=|m|.
又∵点C的坐标为(0,n),
∴CD=n-(n-m2)=m2.
当△ABC为等边三角形时,∠CAD=60°.
在Rt△ACD中,∵∠ADC=90°,
∴tan∠CAD=
=
=|m|,
∴|m|=
,
∴m=±
.
∴抛物线C2的解析式为:y=(-x)2-2m(-x)+n,即y=x2+2mx+n;
(2)当m=1时,△ABC为等腰直角三角形.理由如下:
如图,设AB与y轴交于点D.
∵抛物线C1、C2关于y轴对称,
∴顶点A与顶点B关于y轴对称,
又∵点C、D都在y轴上,
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当m=1时,∵抛物线C1:y=x2-2x+n=(x-1)2+n-1,
∴顶点A的坐标为A(1,n-1),
∴D点坐标为(0,n-1),AD=1.
又∵点C的坐标为(0,n),
∴CD=n-(n-1)=1,
∴AD=CD,
∴∠ACD=45°,
∴∠BCD=∠ACD=45°,
∴∠ACB=90°,
∴△ABC为等腰直角三角形;
(3)∵抛物线C1:y=x2-2mx+n=(x-m)2+n-m2,
∴顶点A的坐标为A(m,n-m2),
∴D点坐标为(0,n-m2),AD=|m|.
又∵点C的坐标为(0,n),
∴CD=n-(n-m2)=m2.
当△ABC为等边三角形时,∠CAD=60°.
在Rt△ACD中,∵∠ADC=90°,
∴tan∠CAD=
CD |
AD |
m2 |
|m| |
∴|m|=
3 |
∴m=±
3 |
点评:此题考查了轴对称的性质,等腰直角三角形的判定,等边三角形的性质,锐角三角函数的定义等知识,综合性较强,难度适中.注意数形结合思想的应用.
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