Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，DE：BC=1：3．若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度在射线BC上运动．当点F运动时间t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，射线GE与射线BC相交于点H． AB与GH相交于点O．请解答下列问题：
（1）设△AEG的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（2）当t为多少秒时，AB⊥GH；
（3）求△GFH的面积．

Answer 1

分析：（1）△AEG的面积S等于AE与AG乘积的一半，而且△ADG∽△BDF，然后利用相似比即可写出S与t的函数关系式；
（2）当AB⊥GH时，AG=AE=2，根据（1）中结论即可算出t的值；
（3）利用相似三角形可证得BF=CH，所以S_△GFH=

1

2

FH•AC=

1

2

BC•AC．

解答：解：（1）设BF=t
由DE：BC=1：3，则

AD

BD

=

AE

EC

=

1

2

而GA∥BC可得△ADG∽△BDF（1分）
∴

AG

BF

=

1

2

∴AG=

1

2

BF=

1

2

t（2分）
∴S=

1

2

AG•AE=

1

2

×

1

2

t×2=

1

2

t；（3分）

（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠OAE=45°（4分）
若AB⊥GH
则在△AOG、△AOE中，∵∠OGA=∠OAE=∠OEA=45°
∴AG=AE=2（5分）
∵已证AG=

1

2

BF
∴BF=4
∴t=4（6分）
当t为4秒时，AB⊥GH；（7分）

（3）∵GA∥BH，∴△ADG∽△BDF，△AEG∽△CEH
∴

AG

BF

=

AD

DB

=

1

2

，

AG

CH

=

AE

EC

=

1

2

∴BF=CH（8分）
∴FH=BC=6（9分）
∴S_△GFH=

1

2

FH•AC=

1

2

BC•AC=

1

2

×6×6=18．（10分）

点评：本题主要考查一次函数和相似三角形的综合应用．