题目内容
如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=
x2于点A、B，交抛物线C2：y=
x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．
【猜想与证明】
填表：
由上表猜想：对任意m（m＞0）均有
=______．请证明你的猜想．
【探究与应用】
（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为______；
（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；
【联想与拓展】
如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为______．
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 9 |
【猜想与证明】
填表：
| m | 1 | 2 | 3 | ||
|
| AB |
| CD |
【探究与应用】
（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为______；
（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；
【联想与拓展】
如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为______．
猜想与证明：
当m=1时，1=
x2，1=
x2，
∴x=±2，x=±3，
∴AB=4，CD=6，
∴
=
；
当m=2时，4=
x2，4=
x2，
∴x=±4，x=±6，
∴AB=8，CD=12，
∴
=
；
当m=3时，9=
x2，9=
x2，
∴x=±6，x=±9，
∴AB=12，CD=18，
∴
=
；
∴填表为
对任意m（m＞0）均有
=
．
理由：将y=m2（m＞0）代入y=
x2，得x=±2m，
∴A（-2m，m2），B（2m，m2），
∴AB=4m．
将y=m2（m＞0）代入y=
x2，得x=±3m，
∴C（-3m，m2），D（3m，m2），
∴CD=6m．
∴
=
=
，
∴对任意m（m＞0）均有
=
；
探究与运用：
（1）∵O、Q关于直线CD对称，
∴PQ=OP．
∵CD∥x轴，
∴∠DPQ=∠DPO=90°．
∴△AOB与△CQD的高相等．
∵
=
，
∴AB=
CD．
∵S△AOB=
AB•PO，S△CQD=
CD•PQ，
∴
=
=
，
（2）当△AOB为等腰直角三角形时，如图3，
∴PO=PB=m2，AB=2OP
∴m2=
m4，
∴4m2=m4，
∴m1=0，m2=-2，m3=2．
∵m＞0，
∴m=2，
∴OP=4，AB=8，
∴PD=6，CD=12．
∴S△AOB=
×8×4=16
∴S△CQD=
×12×4=24，
∴S△CQD-S△AOB=24-16=8．
当△CQD是等腰直角三角形时，如图4，
∴PQ=PO=PD=m2，CD=2QP
∴m2=
m4，
∴9m2=m4，
∴m1=0，m2=-3，m3=3．
∵m＞0，
∴m=3，
∴OP=6，AB=12，
∴PQ=9，CD=18．
∴S△AOB=
×9×12=54
∴S△CQD=
×9×18=81，
∴S△CQD-S△AOB=81-54=27；
联想与拓展
由猜想与证明可以得知A（-2m，m2），D（3m，m2），
∵AE∥y轴，DF∥y轴，
∴E点的横坐标为-2m，F点的横坐标为3m，
∴y=
（-2m）2，y=
（3m）2，
∴y=
m2，y=
m2，
∴E（-2m，
m2），F（3m，
m2），
∴AE=m2-
m2=
m2，DF=
m2-m2=
m2．
S△AEM=
×
m2•2m=
m3，
S△DFM=
×
m2•3m=
m3．
∴
=
=
．
故答案为：
；
；
．
当m=1时，1=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 9 |
∴x=±2，x=±3，
∴AB=4，CD=6，
∴
| AB |
| CD |
| 2 |
| 3 |
当m=2时，4=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 9 |
∴x=±4，x=±6，
∴AB=8，CD=12，
∴
| AB |
| CD |
| 2 |
| 3 |
当m=3时，9=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 9 |
∴x=±6，x=±9，
∴AB=12，CD=18，
∴
| AB |
| CD |
| 2 |
| 3 |
∴填表为
| m | 1 | 2 | 3 | ||||||||
|
|
|
|
| AB |
| CD |
| 2 |
| 3 |
理由：将y=m2（m＞0）代入y=
| 1 |
| 4 |
∴A（-2m，m2），B（2m，m2），
∴AB=4m．
将y=m2（m＞0）代入y=
| 1 |
| 9 |
∴C（-3m，m2），D（3m，m2），
∴CD=6m．
∴
| AB |
| CD |
| 4m |
| 6m |
| 2 |
| 3 |
∴对任意m（m＞0）均有
| AB |
| CD |
| 2 |
| 3 |
探究与运用：
（1）∵O、Q关于直线CD对称，
∴PQ=OP．
∵CD∥x轴，
∴∠DPQ=∠DPO=90°．
∴△AOB与△CQD的高相等．
∵
| AB |
| CD |
| 2 |
| 3 |
∴AB=
| 2 |
| 3 |
∵S△AOB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| S△AOB |
| S△CQD |
| ||
|
| 2 |
| 3 |
（2）当△AOB为等腰直角三角形时，如图3，
∴PO=PB=m2，AB=2OP
∴m2=
| 1 |
| 4 |
∴4m2=m4，
∴m1=0，m2=-2，m3=2．
∵m＞0，
∴m=2，
∴OP=4，AB=8，
∴PD=6，CD=12．
∴S△AOB=
| 1 |
| 2 |
∴S△CQD=
| 1 |
| 2 |
∴S△CQD-S△AOB=24-16=8．
当△CQD是等腰直角三角形时，如图4，
∴PQ=PO=PD=m2，CD=2QP
∴m2=
| 1 |
| 9 |
∴9m2=m4，
∴m1=0，m2=-3，m3=3．
∵m＞0，
∴m=3，
∴OP=6，AB=12，
∴PQ=9，CD=18．
∴S△AOB=
| 1 |
| 2 |
∴S△CQD=
| 1 |
| 2 |
∴S△CQD-S△AOB=81-54=27；
联想与拓展
由猜想与证明可以得知A（-2m，m2），D（3m，m2），
∵AE∥y轴，DF∥y轴，
∴E点的横坐标为-2m，F点的横坐标为3m，
∴y=
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 4 |
∴y=
| 4 |
| 9 |
| 9 |
| 4 |
∴E（-2m，
| 4 |
| 9 |
| 9 |
| 4 |
∴AE=m2-
| 4 |
| 9 |
| 5 |
| 9 |
| 9 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
S△AEM=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
| 9 |
S△DFM=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 15 |
| 8 |
∴
| S△AEM |
| S△DFM |
| ||
|
| 8 |
| 27 |
故答案为：
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 8 |
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练习册系列答案
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、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上．
若不存在，请说明理由．
