题目内容
【题目】如图，等腰
中，
，点A、B分别在坐标轴上.
（1）如图1，若
，
，求C点的坐标；
（2）如图2，CD垂直x轴于D点，判断CD、OA、OD的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若点A的坐标为
，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB，AB为边在第一，第二象限作等腰
，等腰
，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，PB的长度是否变化？如果不变求出PB值，如果变化求PB的取值范围.
【答案】（1）C点坐标（1，-2）；（2）AO=BO+CD，证明见解析；（3）PB不发生变化，PB=2
【解析】
（1）作CD⊥BO，易证
，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题.
（2）作CE⊥y轴，易证
，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题.
（3）作EG⊥y轴，易证
和
,可得BG=AO和PB=PG，即可求得PB=
AO，即可解题.
（1）
如图，作CD⊥BO，∵∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°
∴∠CBD=∠BAO
在
和
中，
∴
∴BD=AO=3，CD=BO=1
∴C点坐标（1，-2）
（2）
如图：作CE⊥y轴，
∵∠BAO+∠OBA=90°，∠OBA+∠OBC=90°
∴∠BAO=∠OBC
在
和
中，
∴
∴CE=OB,AO=BE
∵CD=OE, BE=BO+OE
∴BE=BO+CD
即AO=BO+CD
（3）
如图，作EG⊥y轴，
∵∠BAO+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBG=90°
∴∠BAO=∠EBG
在和
中，
∴
∴BG=AO,EG=OB
∵OB=BF
∴BF=EG
在
和
中，
∴
∴PB=PG
∴PB=BG=AO=2
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