题目内容
【题目】如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．
（1）求证：
；
（2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E⊥A1C1，垂足为E，请猜想EF1，AB与
三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当A1E＝6，C1E＝4时，则BD的长为 ．
【答案】（1）见解析； （2）AB－EF1＝
A1C1 ，理由见解析；（3）
【解析】试题分析：
（1）如下图，过点F作FG⊥AB于点G，则由AF平分∠CAB和四边形ABCD是正方形易证△AOF≌△AGF，△BGF是等腰直角三角形，由此可得AO=AG，FG=BG=OF，从而可得AB=AG+BG=AO+OF=AC+OF，变形即可得到结论；
（2）如下图，过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1由此可得四边形F1G1BH1是矩形．
由已知条件易得EF1＝G1F1＝F1H1，从而可得F1是三角形A1BC1的内心，由“直角三角形内切圆的半径与三条边长间的关系”结合CC1=AA1，即可求得EF1，AB与
三者之间的数量关系；
（3）如图，设CC1=AA1=x，由点F1是△A1BC1的内心，点E1、G1、H1都是切点可得A1E＝（A1C1＋A1B－BC1）÷2，即A1E＝[A1C1＋（AB＋x）－（AB－x）]÷2＝（10＋2x）÷2＝6，
由此解得x＝1；然后在Rt△A1BC1中，由A1B2＋BC12＝AC12，可得：（AB＋1）2＋（AB－1）2＝100，解得AB的长即可由BD=
AB求得BD的长.
试题解析：
（1）过F作FG⊥AB于G，
∵AF平分∠CAB，FO⊥AC，FG⊥AB，
∴OF＝FG，
∵∠AOF＝∠AGF＝90°，AF＝AF，OF＝FG，
∴△AOF≌△AGF，
∴AO＝AG，
直角三角形BGF中，∠DGA＝45°，
∴FG＝BG＝OF，
∴AB＝AG＋BG＝AO＋OF＝AC＋OF，
∴AB－OF＝AC．
（2）过F1作F1G1⊥A1B，过F1作F1H1⊥BC1，则四边形F1G1BH1是矩形．
∵BD平分∠ABC，A1F1平分∠BA1C1，
∴F1H1＝F1G1=EF1，
即：F1是三角形A1BC1的内心，
∴EF1＝（A1B＋BC1－A1C1）÷2…①
∵A1B＋BC1＝AB＋A1A＋BC－CC1，而CC1＝A1A，
∴A1B＋BC1＝2AB，
因此①式可写成：EF1＝（2AB－A1C1）÷2，
即AB－EF1＝A1C1．
（3）由（2）得，F1是三角形A1BC1的内心，且E1、G1、H1都是切点．
∴A1E＝（A1C1＋A1B－BC1）÷2，
如果设CC1＝A1A＝x，
A1E＝[A1C1＋（AB＋x）－（AB－x）]÷2＝（10＋2x）÷2＝6，
∴x＝1，
在直角三角形A1BC1中，根据勾股定理有A1B2＋BC12＝AC12，
即：（AB＋1）2＋（AB－1）2＝100，
解得AB＝7，
∴BD＝7．
