Question

已知：用两个边长为3全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD且，把一个含60°的三角尺与这个菱形叠合；如果使三角尺60°的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合．将三角尺绕A点按逆时针方向旋转（旋转角小于60°）．

（1）当三角尺的两边与菱形的两边BC、CD相交于点E、F．
①BE、CF有何数量关系，并证明你的结论．
②接EF，求△CEF面积的最大值．
（2）连接BD，在旋转过程中三角尺的两边分别与BD相交于点M、N，是否存在以BM、MN、ND为边的直角三角形？若存在，求BM的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠B=∠ACD=60°，∠BAC=60°，AB=AC，
又∵∠EAF=60°，且∠BAE=∠BAC-∠AEC=60°-∠AEC，∠CAF=∠EAF-∠AEC=60°-∠AEC，
∴∠BAE=∠CAF，
又∵在△ABE和△ACF中，

∠BAE=∠CAF AB=AC ∠B=∠ACF

，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF；
（2）∵△ABE≌△ACF，
∴S_△ACF=S_△ABE，AE=AF，
又∵等边△ABC的边长为3，且S_{四边形AECF}=S_△AEC+S_△ACF，S_△ABC=S_△AEC+S_△ABE，
∴S_{四边形AECF}=S_△ABC=

1

2

×3×

3 3

2

=

9 3

4

，
∴S_△ECF=S_{四边形AECF}-S_△AEF=S_△ABC-S_△AEF=

9 3

4

-S_△AEF，
又∵∠EAF=60°，AE=AF，
∴△AEF为等边三角形，
∴三角尺运动过程中，当AE⊥BC时，S_△AEF最小，S_△ECF最大，
∴当AE⊥BC时，AE=

3 3

2

，S_△AEF=

1

2

×

9

4

×

3 3

2

=

27 3

16

，
则S_△ECF=

9 3

4

-S_△AEF═

9 3

4

-

27 3

16

=

9 3

16

；
（3）将△ABM绕点A逆时针旋转120°得到△ADP，其中AM=AP，AB=AD，BM=PD，
∵△ADP≌△ABM，
∴∠PAD=∠BAM，
又∵∠EAF=60°，∠CAD=60°，∠EAC=∠EAF-∠FAC=60°-∠FAC，
∴∠DAF=∠CAD-∠FAC=60°-∠FAC，
∴∠EAC=∠DAF，
∴∠PAN=∠PAD+∠DAF=∠BAM+∠EAC=∠BAC=60°，
又∵在△AMN和△APN中，

AM=AP ∠MAN=∠PAN AN=AN

，
∴△AMN≌△APN（SAS），
∴MN=PN，
又∵在△PND中，MN=PN，BM=PD，
∴△PND即为以MN，BM，ND为边的三角形，
易知∠PDN=60°，
所以△PND为直角三角形的情况分为两种：
①∠PND=90°，如图4所示，
∵Rt△PND中，∠PDN=60°且BD=3

3

，
∴ND=

1

2

PD，PN=

3

2

PD，
则BD=BM+MN+ND=PD+PN+ND，即3

3

=PD+

1

2

PD+

3

2

PD，
则BM=PD=3

3

-3；

②∠NPD=90°，如图5所示，
∵Rt△PND中，∠PDN=60°且BD=3

3

，
∴ND=2PD，PN=

3

PD，
∴BD=BM+MN+ND=PD+PN+ND，即3

3

=PD+2PD+

3

PD，
则BM=PD=

3 3 -3

2

．