题目内容

【题目】如图1,已知∠MPN的角平分线PF经过圆心O⊙O于点E、F,PN⊙O的切线,B为切点.

(1)求证:PM也是⊙O的切线;

(2)如图2,在(1)的前提下,设切线PM⊙O的切点为A,连接ABPF于点D;连接AO⊙O于点C,连接BC,AF;记∠PFA∠α.

BC=6,tan∠α=,求线段AD的长;

小华探究图2之后发现:EF2=mODOP(m为正整数),请你猜想m的数值?并证明你的结论.

【答案】(1)详见解析;(2)①4;②4.

【解析】

(1)过点OOA⊥PM,垂足为A,连接OB,根据切线的性质可得出OB是⊙O的半径且OB⊥PN,由PF平分∠MPN利用角平分线的性质可得出OA=OB,进而可证出PM也是⊙O的切线;

(2)①由PM、PN都是⊙O的切线可得出PA=PB,利用等腰三角形的三线合一可得出OP⊥AB、AD=BD,由三角形中位线的性质可得出OD=3,设⊙O的半径为r,则FD=r+3,AD=(r+3),在Rt△AOD中,利用勾股定理可求出r的值,将其代入AD=(r+3)中即可求出AD的长度;

②由∠OAP=∠ODA=90°、∠AOP=∠DOA可证出△OAP∽△ODA,利用相似三角形的性质可得出OA2=ODOP,结合EF=2OA可证出EF2=4ODOP,即m=4.

(1)证明:在图1中,过点OOA⊥PM,垂足为A,连接OB.

∵PN⊙O的切线,B为切点,

∴OB⊙O的半径,且OB⊥PN.

∵PF平分∠MPN,

∴OA=OB,

∴PM也是⊙O的切线;

(2)①∵PM、PN都是⊙O的切线,

∴PA=PB.

∵∠APD=∠BPD,

∴OP⊥AB,AD=BD.

∵OD△ABC的中位线,

∴OD=BC=3.

⊙O的半径为r,则FD=r+3,

∵tan∠α=

∴AD=(r+3).

Rt△AOD中,OA2=AD2+OD2,即r2=[(r+3)]2+32

解得:r=5,

∴AD=(r+3)=4.

猜想m=4.

证明:∵∠OAP=∠ODA=90°,∠AOP=∠DOA,

∴△OAP∽△ODA,

,即OA2=ODOP,

∵EF=2OA,

∴EF2=4ODOP,

∴m=4.

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