题目内容

【题目】如图,∠MON=90°AB分别在线段OMON(不与点O重合)BC是∠ABN的平分线,BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D.

(1)若∠BAO=60°,求∠ABC和∠D的度数.

(2)若∠BAO=°,求∠ABC和∠D的度数.

(3)若△ABD中有一个角是另一个角的3倍,直接写出此时∠ABC的度数.

【答案】⑴∠ABC=75°D=45°⑵∠ABC=45+xD=45°60°78.75°.

【解析】

(1)先求出∠ABN=150°,再根据角平分线得出∠ABC的度数,∠BAD的度数,最后由外角性质可得∠D度数即可;

(2)设∠BAD=°,利用外角性质和角平分线定义求得∠ABC=45°+ °,利用∠D=ABC-BAD即可得答案;

(3)分∠D=3DAB,∠DBA=3DAB,∠DBA=3D三种情况进行讨论即可.

(1)∵∠BAO=60°、∠MON=90°,

∴∠ABN=BAO+MON=150°,

BC平分∠ABNAD平分∠BAO

∴∠ABC=ABN=75°,∠BAD=BAO=30°,

∴∠D=CBA-BAD=45°;

(2)∵∠BAO=x°、∠MON=90°,

∴∠ABN=BAO+MON=(90+x)°,

BC平分∠ABNAD平分∠BAO

∴∠ABC=ABN=(45+x)°,∠BAD=BAO=

∴∠D=CBA-BAD=45°;

(3)(2)可知∠D的度数不变,∠D=45°

若∠D=3DAB,则∠DAB=15°

AD平分∠BAO,∴∠BAO=2DAB=30°

∴∠ABN=BAO+MON=120°,

BC平分∠ABN

∴∠ABC=ABN=60°;

若∠DBA=3DAB

∵∠DBA+DAB=135°

∴∠DAB=33.75°

AD平分∠BAO,∴∠BAO=2DAB=67.5°

∴∠ABN=BAO+MON=157.5°,

BC平分∠ABN

∴∠ABC=ABN=78.75°;

若∠DBA=3D,此种情况不存在,

综上,∠ABC=60°78.75°.

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