题目内容

(2011•抚顺一模)如图,已知Rt△ABC,∠ABC=90°.
(1)根据下列语句作图并保留作图痕迹:作Rt△ABC的外接圆⊙O,过点A作⊙O的切线PA与AB的垂直平分线交于点P.
(2)连接PB,求证:PB是⊙O的切线;
(3)已知PA=AB=
3
,求线段PA、PB与弧AB围成的图形的面积.
分析:(1)利用直角三角形外接圆的性质,直接找到斜边中点求出即可;
(2)利用切线的性质与判定,得出∠OAB+∠BAP=∠OBA+∠PBA=90°,即可得出答案;
(3)根据(2)中所求,可以得出△PAB是等边三角形,进而得出r=1,∠AOB=60°,∠AOB=120°,即可求出所求图形的面积.
解答:(1)解:如图所示:

(2)证明:∵点P、O在AB垂直平分线上,
∴PA=PB,AO=BO,
∴∠PAB=∠PBA,
∠OAB=∠OBA,
∵PA是⊙O的切线,
∴∠OAP=90°,
∴∠OAB+∠BAP=∠OBA+∠PBA=90°,
∴OB⊥PB,
∴PB是⊙O切线;

(3)解:∵PA,PB都是⊙O的切线,
∴PA=PB,
∵PA=AB=
3

∴PA=AB=PB,
∴△PAB是等边三角形,
∴∠PAD=60°,
∴∠OAD=30°,
∴r=1,∠AOB=60°,∠AOB=120°,
∴S四边形AOBP=
1
2
×1×
3
×2=
3

S扇形AOB=
1
3
π,
所求图形的面积为(
3
-
1
3
π)平方厘米.
点评:此题主要考查了切线的判定与性质以及扇形面积求法和做复杂图形,根据已知得出正确图形是解题关键.
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