Question

（2013•惠城区模拟）如图，已知二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，-2）．
（1）求此函数的关系式；
（2）求P点坐标；
（3）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据顶点式直接写出函数解析式；
（2）令x=0，代入y=（x-1）²-2，即可求出函数图象与y轴的交点；
（3）求出M点的坐标，然后利用待定系数法求出直线PM的解析式，与抛物线解析式联立组成方程组即可求出E点坐标．

解答：解：（1）∵函数的图象顶点为C（1，-2），
∴函数关系式可表示为y=（x-1）²-2，
即y=x²-2x-1，
（2）当x=0时，y=-1，则有P（0，-1）．
（3）设直线PE的函数关系式为y=kx+b，
由题意知四边形ACBD是菱形，
∴直线PE必经过菱形的中心M，
由P（0，-1），M（1，0）得

b=-1 k+b=0

，
解得

k=1 b=-1

，
∴直线PE的函数关系式为y=x-1，
联立方程组，得

y=x2-2x-1 y=x-1

解得x1=0(舍去)，x2=3
∴点E的坐标为（3，2）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点式和函数解析式与方程组的解的关系，综合性较强．