Question

在△ABC中，∠A=70°，⊙O在△ABC的三边上截得的三条弦都相等，如图所示，则∠BOC=

 

度．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：作OL⊥AB、OQ⊥BC、ON⊥AC，垂足分别为L、Q、N，连接OG、OH，由垂径定理和勾股定理求出OL=ON=OQ，根据三角形内心和三角形内角和定理求出∠OBC+∠OCB，即可求出答案．

解答：解：作OL⊥AB、OQ⊥BC、ON⊥AC，垂足分别为L、Q、N，连接OG、OH，
则由垂径定理得：GF=2GL，HM=2HQ，
∵FG=HM，
∴GL=HQ，
在Rt△OLG和Rt△OQH中，∠OLG=∠OQH=90°，OG=OH，GL=HQ，由勾股定理得：OL=OQ，
同理ON=OQ，
即OL=ON=OQ，
∴O为△ABC的内切圆的圆心，
∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，
∵O是△ABC的内切圆的圆心，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

×110°=55°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-55°=125°，
故答案为：125．

点评：此题是用圆的有关性质及三角形内切圆与内心的应用，应特别注重辅助线的添置．