题目内容
【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,过点A(﹣,0)的两条直线分别交y轴于B、C两点,且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根
(1)试问:直线AC与直线AB是否垂直?请说明理由;
(2)若点D在直线AC上,且DB=DC,求点D的坐标;
(3)在(2)的条件下,直线BD上是否存在点P,使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)、垂直;理由见解析;(2)、(﹣2,1);(3)、(﹣3,0),(﹣,2),(﹣3,3﹣),(3,3+).
【解析】
试题分析:(1)、根据点A、B、C的坐标得出OA、OB和OC的长度,根据线段的比值以及∠AOC=∠BOA=90°得出△AOC和△BOA相似,然后得出∠BAC=90°,即垂直;(2)、首先根据待定系数法求出直线AC的解析式,根据中垂线的性质得出点D的纵坐标,然后求出横坐标;(3)、根据等腰三角形的性质进行分类讨论,求出点P的坐标.
试题解析:(1)、∵A(﹣,0),B(0,3),C(0,﹣1), ∴OA=,OB=3,OC=1, ∴OA2=OBOC,
∵∠AOC=∠BOA=90°, ∴△AOC∽△BOA, ∴∠CAO=∠ABO, ∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠BAC=90°, ∴AC⊥AB;
(2)、设直线AC的解析式为y=kx+b, 把A(﹣,0)和C(0,﹣1)代入y=kx+b,
∴, 解得:, ∴直线AC的解析式为:y=﹣x﹣1,
∵DB=DC, ∴点D在线段BC的垂直平分线上, ∴D的纵坐标为1, ∴把y=1代入y=﹣x﹣1,
∴x=﹣2, ∴D的坐标为(﹣2,1),
(3)点P的坐标为(﹣3,0),(﹣,2),(﹣3,3﹣),(3,3+).