题目内容

【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,过点A(,0)的两条直线分别交y轴于B、C两点,且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x22x3=0的两个根

(1)试问:直线AC与直线AB是否垂直?请说明理由;

(2)若点D在直线AC上,且DB=DC,求点D的坐标;

(3)在(2)的条件下,直线BD上是否存在点P,使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)、垂直;理由见解析;(2)、(2,1);(3)、(3,0),(,2),(3,3),(3,3+).

【解析】

试题分析:(1)、根据点A、B、C的坐标得出OA、OB和OC的长度,根据线段的比值以及AOC=BOA=90°得出AOC和BOA相似,然后得出BAC=90°,即垂直;(2)、首先根据待定系数法求出直线AC的解析式,根据中垂线的性质得出点D的纵坐标,然后求出横坐标;(3)、根据等腰三角形的性质进行分类讨论,求出点P的坐标.

试题解析:(1)、A(,0),B(0,3),C(0,1), OA=,OB=3,OC=1, OA2=OBOC,

∵∠AOC=BOA=90° ∴△AOC∽△BOA, ∴∠CAO=ABO, ∴∠CAO+BAO=ABO+BAO=90°

∴∠BAC=90° ACAB;

(2)、设直线AC的解析式为y=kx+b, 把A(,0)和C(0,1)代入y=kx+b,

解得: 直线AC的解析式为:y=x1,

DB=DC, 点D在线段BC的垂直平分线上, D的纵坐标为1, 把y=1代入y=x1,

x=2 D的坐标为(2,1),

(3)点P的坐标为(3,0),(,2),(3,3),(3,3+).

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