Question

【题目】在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠BAE：∠CAE＝4：6，BD平分∠ABC，点F在BC上，∠CDF＝60°，∠ABD＝25°．

（1）求∠CAE的度数；

（2）求证：DF⊥BC．

Answer 1

【答案】（1）∠CAE＝60°；（2）见解析

【解析】

（1）根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABD=50°，然后根据垂直的定义可得∠AEB=∠AEC=90°，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠BAE，然后根据已知比例式即可求出结论；

（2）根据三角形的内角和定理即可求出∠C，然后根据三角形外角的性质即可求出∠DFB=90°，最后根据垂直的定义即可证出结论．

解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABD＝25°

∴∠ABC=2∠ABD=50°，

∵AE⊥BC

∴∠AEB=∠AEC=90°

∴∠BAE=180°－∠AEB－∠ABC=40°

∵∠BAE：∠CAE＝4：6，

解得：∠CAE＝60°

（2）在△CAE中，∠CAE＝60°，∠AEC=90°

∴∠C=180°－∠CAE－∠AEC=30°

∵∠CDF＝60°

∴∠DFB=∠CDF＋∠C=90°

∴DF⊥BC．