Question

【题目】如图，直线l1：y＝kx+b与双曲线y＝（x＞0）交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点E，已知点A（1，3），点C（4，0）．

（1）求直线l1和双曲线的解析式；

（2）将△OCE沿直线l1翻折，点O落在第一象限内的点H处，求点H的坐标；

（3）如图，过点E作直线l2：y＝3x+4交x轴的负半轴于点F，在直线l2上是否存在点P，使得S△PBC＝S△OBC？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+4，y＝（x＞0）；（2）H（4，4）；（3）存在，点P的坐标为（﹣1，1）或（1，7）．

【解析】

（1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；

（2）证明OC＝OE＝4，由翻折得△CEH≌△CEO，进而证明四边形OCHE是正方形，即可求解；

（3）过点O作直线m∥BC交直线l2于点P′，在x轴取点H，使OC＝CH（即等间隔），过点H作直线n∥BC交直线l2于点P，则点P（P′）为所求点，即可求解．

解：（1）将A（1，3），C（4，0）代入y＝kx+b，得，解得：，

∴直线l1的解析式为y＝﹣x+4．

将A（1，3）代入y＝（x＞0），得m＝3，

∴双曲线的解析式为y＝（x＞0）；

（2）将x＝0代入y＝﹣x+4，得y＝4，

∴E（0，4）．

∴△COE是等腰直角三角形．

∴∠OCE＝∠OEC＝45°，OC＝OE＝4．

由翻折得△CEH≌△CEO，

∴∠COE＝∠CHE＝∠OCH＝90°．

∴四边形OCHE是正方形．

∴H（4，4）；

（3）存在，理由：

如图，过点O作直线m∥BC交直线l2于点P'，

在x轴取点H，使OC＝CH（即等间隔），过点H作直线n∥BC交直线l2于点P，

S△PBC＝S△OBC，根据同底等高的两个三角形面积相等，则点P（P'）为所求点．

直线BC表达式中的k值为﹣1，则直线m、n表达式中的k值也为﹣1，

故直线m的表达式为：y＝﹣x①，

直线l2的表达式为：y＝3x+4②，

联立①②并解得：x＝﹣1，y＝1，故点P'（﹣1，1）；

设直线n的表达式为：y＝﹣x+s，而点H（8，0），

将点H的坐标代入上式并解得：s＝8，

故直线n的表达式为：y＝﹣x+8③，

联立②③并解得：x＝1，y＝7，

故点P的坐标为（1，7）；

综上，点P的坐标为（﹣1，1）或（1，7）．