题目内容

【题目】已知抛物线y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0),与x轴从左至右依次相交于A、B两点,与y轴相交于点C,经过点A的直线y=﹣ x+b与抛物线的另一个交点为D.

(1)若点D的横坐标为2,求抛物线的函数解析式;
(2)若在第三象限内的抛物线上有点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似,求点P的坐标;
(3)在(1)的条件下,设点E是线段AD上的一点(不含端点),连接BE.一动点Q从点B出发,沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒 个单位的速度运动到点D后停止,问当点E的坐标是多少时,点Q在整个运动过程中所用时间最少?

【答案】
(1)

解:∵y=a(x+3)(x﹣1),

∴点A的坐标为(﹣3,0)、点B两的坐标为(1,0),

∵直线y=﹣ x+b经过点A,

∴b=﹣3

∴y=﹣ x﹣3

当x=2时,y=﹣5

则点D的坐标为(2,﹣5 ),

∵点D在抛物线上,

∴a(2+3)(2﹣1)=﹣5

解得,a=﹣

则抛物线的解析式为y=﹣ (x+3)(x﹣1)=﹣ x2﹣2 x+3


(2)

解:如图1中,作PH⊥x轴于H,设点 P坐标(m,n),

当△BPA∽△ABC时,∠BAC=∠PBA,

∴tan∠BAC=tan∠PBA,即 =

= ,即n=﹣a(m﹣1),

解得m=﹣4或1(舍弃),

当m=﹣4时,n=5a,

∵△BPA∽△ABC,

=

∴AB2=ACPB,

∴42=

解得a=﹣ (舍弃),

则n=5a=﹣

∴点P坐标(﹣4,﹣ ).

当△PBA∽△ABC时,∠CBA=∠PBA,

∴tan∠CBA=tan∠PBA,即 =

=

∴n=﹣3a(m﹣1),

解得m=﹣6或1(舍弃),

当m=﹣6时,n=21a,

∵△PBA∽△ABC,

= ,即AB2=BCPB,

∴42=

解得a=﹣ (不合题意舍弃),

则点P坐标(﹣6,﹣3 ),

综上所述,符合条件的点P的坐标(﹣4,﹣ )和(﹣6,﹣3


(3)

解:如图2中,作DM∥x轴交抛物线于M,作DN⊥x轴于N,作EF⊥DM于F,

则tan∠DAN= = =

∴∠DAN=60°,

∴∠EDF=60°,

∴DE= = EF,

∴Q的运动时间t= + =BE+EF,

∴当BE和EF共线时,t最小,

则BE⊥DM,此时点E坐标(1,﹣4


【解析】(1)根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标,进而求出直线AD的解析式,接着求出点D的坐标,将D点坐标代入抛物线解析式确定a的值;(2)由于没有明确说明相似三角形的对应顶点,因此需要分情况讨论:①△ABC∽△BAP;②△ABC∽△PAB;(3)作DM∥x轴交抛物线于M,作DN⊥x轴于N,作EF⊥DM于F,根据正切的定义求出Q的运动时间t=BE+EF时,t最小即可.

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