题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，四边形OABC如图所示，点A在x轴负半轴上，BC∥AO（点B位于点C左侧），边BA、CO的延长线交于第三象限的点D，且DB=DC，若点B的横坐标是﹣4，AD：BD＝1:3．
（1）求点A的坐标；
（2）连接OB，若△OBC是等腰三角形，求点C的坐标．
【答案】（1）点A的坐标为（﹣2，0）；（2）C（2，2
）或C（2，4
）．
【解析】
（1）过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，根据已知条件证明DF垂直平分AO，得到2AF+AE=4①，再根据DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，得到
，即AE=2AF②，再由①②得到AE=2，AF=1，故可得到A点坐标；
（2）根据题意得到B、C两点关于直线x=﹣1对称，由B点横坐标为﹣4，得到C点横坐标为2，故BC=2﹣（﹣4）=6，再分两种情况讨论：当BO=BC时与OC=BC时，利用勾股定理进行求解.
（1）如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F．
∵BC∥AO，
∴∠DBC=∠DAO，∠DCB=∠DOA
∵DB=DC
∴∠DAO =∠DOA
∴DA=DO 又∵DF⊥x轴
∴OF=AF，则2AF+AE=4①．
∵DF∥BE，
∴△ADF∽△ABE，
∴，即AE=2AF②，
①与②联立，解得AE=2，AF=1，
∴点A的坐标为（﹣2，0）；
（2）由题意得∠OAB＞90°，OB＞AB=OC，
∵DA=DO，DB=DC
∴B、C两点关于直线x=﹣1对称，B点横坐标为﹣4，
∴C点横坐标为2，
∴BC=2﹣（﹣4）=6．
∴当△OBC是等腰三角形时，分两种情况讨论：
①当BO=BC时，设B（﹣4，y1），
则16+
=36，解得y1=±2（负值舍去）．
∴C（2，2）；
②当OC=BC时，设C（2，y2），
则4+
=36，解得y2=±4（负值舍去）．
∴C（2，4）．
∴C（2，2）或C（2，4）．
