Question

（10分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O.

（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；

（2）设（1）中的相似比为，若AD︰BC = 2︰3. 请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？

①当= 1时，是          ；

②当= 2时，是             ；

③当= 3时，是                 .

请证明= 2时的结论.

 

Answer 1

（1）证明：∵AD∥BC                               

∴∠OBP = ∠ODE      ……………1分

在△BOP和△DOE中

∠OBP = ∠ODE

∠BOP = ∠DOE    …………………2分                     

∴△BOP∽△DOE (有两个角对应相等的两三角形相似)         ……………3分

（2）① 平行四边形 …………………4分

② 直角梯形  …………………5分

③ 等腰梯形 …………………7分

证明：∵k = 2时，

 

∴ BP = 2DE= AD

又∵AD︰BC = 2︰3       BC = AD

 

PC = BC- BP =AD- AD =AD= ED

 

ED∥PC , ∴四边形PCDE是平行四边形

∵∠DCB= 90°

∴四边形PCDE是矩形            …………………8分

∴ ∠EPB =90°                  …………………9分

又∵ 在直角梯形ABCD中

AD∥BC, AB与DC不平行

∴ AE∥BP, AB与EP不平行

四边形ABPE是直角梯形      ………………………10分

（本题其它证法参照此标准给分）

解析:略