题目内容
【题目】在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,点E在边BC上,且BE=2CE,将矩形沿过点E的直线折叠,点C、D的对应点分别为C′、D′,折痕与边AD交于点F,当点B、C′、D′恰好在同一直线上时,AF的长为 .
【答案】4 或4﹣
【解析】解:由折叠的性质得,∠EC′D′=∠C=90°,C′E=CE, ∵点B、C′、D′在同一直线上,
∴∠BC′E=90°,
∵BC=6,BE=2CE,
∴BE=4,C′E=CE=2,
在Rt△BC′E中, =2,
∴∠C′BE=30°,①当点C′在BC的上方时,
如图1,过E作EG⊥AD于G,延长EC′交AD于H,则四边形ABEG是矩形,
∴EG=AB=3,AG=BE=4,
∵∠C′BE=30°,∠BC′E=90°,
∴∠BEC′=60°,
由折叠的性质得,∠C′EF=′CEF,
∴∠C′EF=∠CEF=60°,
∵AD∥BC,
∴∠HFE=∠CEF=60°,
∴△EFH是等边三角形,
∴在Rt△EFG中,EG=3,
∴GF= ,
∴AF═4+ ,②当点C′在BC的下方时,如图2,
过F作FG⊥AD于G,D′F交BE于H,同①可得四边形ABGF是矩形,△EFH是等边三角形,
∴AF=BG,FG=AB=3,∠FEH=60°,
在Rt△EFG中,GE= ,
∵BE=4,
∴BG=4﹣ ,
∴AF=4﹣ ,
综上所述,AF的长是4 或4﹣
.
所以答案是:4 或4﹣
.
【考点精析】认真审题,首先需要了解矩形的性质(矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等),还要掌握翻折变换(折叠问题)(折叠是一种对称变换,它属于轴对称,对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和角相等)的相关知识才是答题的关键.

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