题目内容
【题目】如图，抛物线y=﹣
x2+bx+c与x轴交于（2，0）、（1，0），与y轴交于C，直线l1经过点C且平行于x轴，与抛物线的另一个交点为D，将直线l1向下平移t个单位得到直线l2，l2与抛物线交于A、B两点．
（1）求抛物线解析式及点C的坐标；
（2）当t=2时，探究△ABC的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，点M（m，0）在x轴上自由运动，过M作MN⊥x轴，交直线BC于P，交抛物线于N，若三个点M、N、P中恰有一个点是其他两个点连线段的中点（三点重合除外），则称M、N、P三点为“共谐点”，请直接写出使得M、P、N三点为“共谐点”的m的值．
【答案】（1）点C的坐标为（0，﹣1）；（2）△ABC为直角三角形，理由见解析；（3）使得M、P、N三点为“共谐点”的m的值为
或
或
或
．
【解析】
（1）由点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标；
（2）由t和点C的坐标可得出直线l2为y＝3，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式可求出AB、AC、BC的值，由AC2＋BC2＝AB2可得出△ABC为直角三角形；
（3）由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，由点M的坐标可得出点N、P的坐标，分点M为中点、点N为中点及点P为中点三种情况找出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
（1）将（2，0）、（1，0）代入y=﹣
x2+bx+c，得：
，解得：
，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+
x﹣1．
当x=0时，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，
∴点C的坐标为（0，﹣1）．
（2）△ABC为直角三角形，理由如下：
∵t=2，直线l1：y=﹣1，
∴直线l2：y=﹣3．
当y=﹣3时，﹣x2+x﹣1=﹣3，
解得：x1=﹣1，x2=4，
∴点A的坐标为（﹣1，﹣3），点B的坐标为（4，﹣3）．
∵点C的坐标为（0，﹣1），
∴AC=
，BC=
，AB=5．
∵AC2+BC2=25=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC为直角三角形．
（3）设直线BC的解析式为y=kx+d（k≠0），
将B（4，﹣3）、C（0，﹣1）代入y=kx+d，得：
，解得：
，
∴直线BC的解析式为y=﹣
x﹣1．
∵点M的坐标为（m，0），
∴点N的坐标为（m，﹣m2+m﹣1），点P的坐标为（m，﹣m﹣1）．
①当点M为中点时，有﹣m2+m﹣1﹣0=0﹣（﹣m﹣1），
整理得：m2﹣2m+4=0，
∵△=（﹣2）2﹣4×1×4=﹣12＜0，
∴该情况不存在；
②当点N为中点时，有0﹣（﹣m2+m﹣1）=﹣m2+m﹣1﹣（﹣m﹣1），
整理得：2m2﹣7m+2=0，
解得：m1=
，m2=；
③当点P为中点时，有0﹣（﹣m﹣1）=﹣m﹣1﹣（﹣m2+m﹣1），
整理得：m2﹣5m﹣2=0，
解得：m3=
，m4=．
综上所述：使得M、P、N三点为“共谐点”的m的值为或或或．
