题目内容
【题目】学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A=
．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）求sad60°的值；
（2）对于0°＜A＜180°，求∠A的正对值sadA的取值范围．
（3）已知sinα=
，其中α为锐角，试求sadα的值．
【答案】（1）1；（2）0＜sadA＜2；（3）
．
【解析】
（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；
（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出直角△ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答．
（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，
则sad60°= 
=1．
（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
（3）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A= 
．
在AB上取点D，使AD=AC，
作DH⊥AC，H为垂足，
令BC=3k，AB=5k，
则AD=AC= 
=4k，
又∵在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A= ．
∴DH=AD sin∠A= 
k，AH= 
= 
k．
则在△CDH中，CH=AC﹣AH= 
k，CD= 
= 
k．
于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD= k．
由正对的定义可得：sadA= 
，即sadα= ．
