题目内容

已知直线l与⊙O交于不同的两点E,F,CD是⊙O的直径,CA⊥l,DB⊥l,垂足分别为A,B.若AB=7,BD-AC=1,AE=1,试问在线段AB上是否存在点P,使得以点P,A,C为顶点的三角形与以点P,B,D为顶点的三角形相似?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.
(1)若l与直径CD不相交,如图所示,

(i)作OH⊥AB于H,易得AE=BF,此时△ACE△BED,△AFC△BDF,
则E,F为满足的点,故AP=AE=1或AP=AF=AB-BF=6
(ii)若除E,F外还存在点P使△APC△BPD,设AC=x,BD=y,则y-x=1,
∵Rt△ACERt△BED,故
x
AE
=
EB
y
,得xy=6
于是x=2,y=3或x=-3,y=-2(舍去)
∵△APC△BPD,故
AP
AC
=
BP
BD
,即
AP
2
=
7-AP
3
,解得AP=
14
5

故存在第三个满足条件的点P,且AP=
14
5

综合(i),(ii),满足条件的点有三个,AP的长分别为1,6,
14
5


(2)若l与直径CD相交,且交点为Q,如图
(i)由∠AQC=∠DQB,得Rt△ACQRt△BDQ,则点Q为满足条件的点,
设AC=x,BD=y,则y-x=1,
又∠DEB=∠ECA,则Rt△ACERt△BED,
AC
BE
=
AE
BD
,得xy=8,
于是,x=
33
-1
2
,y=
33
+1
2
或x=
-
33
-1
2
,y=
-
33
+1
2
(舍去)
∵Rt△ACQRt△BDQ,∴
AQ
QB
=
AC
BD
,解得AQ=
231-7
33
66

(ii)若除Q外,还存在点P,使△APC△BDP,则
AP
BD
=
AC
PB

整理得AP2-7AP+8=0,解得AP=
17
2

综合(i),(ii),满足条件的点P有三个,AP的长分别为
231-7
33
66
7+
17
2
7-
17
2

所以,综合(1)(2)可得,满足条件的点共有6个.AP的长度为:
1,6,
14
5
231-7
33
66
7+
17
2
7-
17
2

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