题目内容
（2013•雨花台区一模）如图，在直角坐标系中，A点坐标为（0，6），B点坐标为（8，0），点P沿射线BO以每秒2个单位的速度匀速运动，同时点Q从A到O以每秒1个单位的速度匀速运动，当点Q运动到点O时两点同时停止运动．
（1）设P点运动时间为t秒，M为PQ的中点，请用t表示出M点的坐标为
（2）设△BPM的面积为S，当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？
（3）请画出M点的运动路径，并说明理由；
（4）若以A为圆心，AQ为半径画圆，t为何值时⊙A与点M的运动路径只有一个交点？
（1）设P点运动时间为t秒，M为PQ的中点，请用t表示出M点的坐标为
（4-t，3-
t）
| 1 |
| 2 |
（4-t，3-
t）
；| 1 |
| 2 |
（2）设△BPM的面积为S，当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？
（3）请画出M点的运动路径，并说明理由；
（4）若以A为圆心，AQ为半径画圆，t为何值时⊙A与点M的运动路径只有一个交点？
分析：（1）求得P、Q的坐标，根据M是PQ的中点，则M的坐标即可求解；
（2）求出BP的长，△BPQ中BP边上的高是M的纵坐标，根据三角形的面积公式即可求得函数解析式，然后根据函数的性质即可求得最值；
（3）根据M的坐标的关系确定M所在的函数解析式，即可确定所在的图形；
（4）⊙A与点M的运动路径只有一个交点，则⊙A与射线y=
x相切，则△OAE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的边角关系即可列方程求解．
（2）求出BP的长，△BPQ中BP边上的高是M的纵坐标，根据三角形的面积公式即可求得函数解析式，然后根据函数的性质即可求得最值；
（3）根据M的坐标的关系确定M所在的函数解析式，即可确定所在的图形；
（4）⊙A与点M的运动路径只有一个交点，则⊙A与射线y=
| 1 |
| 2 |
解答：
解：（1）∵OP=8-2t，OQ=6-t
又∵M为PQ的中点，
∴M点的坐标为（4-t，3-
t）；
（2）BP=2t，M的纵坐标是：3-
t，
则S=
•2t•（3-
t），
即S=-
t2+3t=-
（t-3）2+
，
则当t=3时，S有最大值是
；
（3）∵M点的坐标为（4-t，3-
t），
∴M在y=
x+1上，即运动的路径是y=
x+1（x≥0）；
（4）⊙A与点M的运动路径只有一个交点，则⊙A与射线y=
x+1相切，
∴A到直线的距离为AQ=t，
设切点为E，
则cos∠AOE=
=
，
解得：t=2
．
解：（1）∵OP=8-2t，OQ=6-t又∵M为PQ的中点，
∴M点的坐标为（4-t，3-
| 1 |
| 2 |
（2）BP=2t，M的纵坐标是：3-
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| 2 |
则S=
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| 2 |
| 1 |
| 2 |
即S=-
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| 2 |
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| 9 |
| 2 |
则当t=3时，S有最大值是
| 9 |
| 2 |
（3）∵M点的坐标为（4-t，3-
| 1 |
| 2 |
∴M在y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（4）⊙A与点M的运动路径只有一个交点，则⊙A与射线y=
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| 2 |
∴A到直线的距离为AQ=t，
设切点为E，
则cos∠AOE=
| t |
| 5 |
| 2 | ||
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解得：t=2
| 5 |
点评：本题考查了圆与直线的位置关系，以及等腰直角三角形的性质，正确确定M运动的路径是射线，是解题的关键．
练习册系列答案
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