Question

设a与b是正整数，且a+b=33，最小公倍数[a，b]=90，则最大公约数（a，b）=（ ）
A．1
B．3
C．11
D．9

Answer 1

【答案】分析：假设出（a，b）=x，得出x是a，b，a+b及[a，b]的公约数，得出x的值是x=1或x=3，进一步利用数的整除性知识进行分析，得出符合要求的答案．
解答：解：令（a，b）=x，则x是a，b，a+b及[a，b]的公约数，
故x是33和90的公约数，知x=1或x=3．
当x=1时，a与b互质，而a+b=33，当a不能被3整除，则b不能被3整除，
而[a，b]=90，说明a、b至少有一个能被3整除．
当a能被3整除，由a+b=33，则b也能被3整除，
故（a，b）≠1，即x≠1．
当x=3时，即有（a，b）=3，
∴ab=[a，b]，（a，b）=3×90=3²×5×6，
而a+b=33，∴a=15，b=18，（a，b）=3．
故选B．
点评：此题主要考查了数的整除性以及最大公约数和互质等知识，利用整除性得出a，b的关系是解决问题的关键．