题目内容

如图，点O是边为2的正方形ABCD的中心，点E从A点开始沿AD边运动，点F从D点开始沿DC边运动，并且AE=DF．
（1）求正方形ABCD的对角线AC的长；
（2）若点E、F同时运动，连接OE、OF，请你探究：四边形DEOF的面积S与正方形ABCD的面积关系，并求出四边形DEOF的面积S；
（3）在（2）的基础上，设AE=x，△EOF的面积为y，y与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并利用图象说明当x在什么范围时，y≥ $数学公式$ ．

解：（1）在直角三角形ABC中
AC= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ．

（2）连接OD，
∵OA=OD，AE=DF，∠ODC=∠OAD=45°
∴△AEO≌△DFO
∴S_△OFD=S_△AEO则S_{四边形DEOF}=S_△ADO
又S_△ADO= $\text{[math]}$ S_{四边形ABCD}，
∴S_{四边形DEOF}= $\text{[math]}$ S_{四边形ABCD}=1．

（3）由（2）得：y=1-S_△DEF=1- $\text{[math]}$ x（2-x）= $\text{[math]}$ x²-x+1
且0≤x≤2
配方得：y= $\text{[math]}$ （x-1）²+ $\text{[math]}$
画图：
令 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ （x-1）²+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$
由图象可知：当0≤x≤ $\text{[math]}$ 时，或 $\text{[math]}$ ≤x≤2时y≥ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）可根据勾股定理得出AC的长．
（2）连接OD，先证△AEO≌△DFO，然后得出S_△OFD=S_△AEO，因此四边形DEOF的面积就转化为三角形AOD的面积．三角形AOD的面积是正方形的 $\text{[math]}$ ，由此可求出S的值．
（3）由（2）得出的四边形BEOF的面积，那么y=1-S_△DEF=然后用x表示出三角形DEF的面积，即可得出函数式．
点评：本题主要考查了正方形的性质和二次函数的综合应用，本题中利用全等三角形来转化面积是解题的关键．

练习册系列答案

并且AE=DF．
（1）求正方形ABCD的对角线AC的长；
（2）若点E、F同时运动，连接OE、OF，请你探究：四边形DEOF的面积S与正方形ABCD的面积关系，并求出四边形DEOF的面积S；
（3）在（2）的基础上，设AE=x，△EOF的面积为y，y与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并利用图象说明当x在什么范围时，y≥

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（2013•本溪）如图，点B₁是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB₁为一边，构造等边△OB₁A₁（点O，B₁，A₁按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B₂是△OB₁A₁的两条中线的交点，再以OB₂为一边，构造等边△OB₂A₂（点O，B₂，A₂按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OB_nA_n的边OA_n与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是

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如图，点B₁是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点，以OB₁为一边，构造等边△OB₁A₁（点O，B₁，A₁按逆时针方向排列），称为第一次构造；点B₂是△OBA的两条中线的交点，再以OB₂为一边，构造等边△OB₂A₂（点O，B₂，A₂按逆时针方向排列），称为第二次构造；以此类推，当第n次构造出的等边△OB_nA_n的边OA_n与等边△OBA的边OB第一次重合时，构造停止．则构造出的最后一个三角形的面积是　．

（2006•惠安县质检）如图，点O是边为2的正方形ABCD的中心，点E从A点开始沿AD边运动，点F从D点开始沿DC边运动，并且AE=DF．
（1）求正方形ABCD的对角线AC的长；
（2）若点E、F同时运动，连接OE、OF，请你探究：四边形DEOF的面积S与正方形ABCD的面积关系，并求出四边形DEOF的面积S；
（3）在（2）的基础上，设AE=x，△EOF的面积为y，y与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并利用图象说明当x在什么范围时，y≥

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