Question

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，点A（10，0）和点B（2，2），在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ=2OP，当P、Q重合时同时停止运动，过点Q作x轴的垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD=MQ，以QD为对角线作正方形QCDE（正方形QCDE随点Q运动）．
（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）设正方形QCDE的面积为S，P点坐标（m，0）求S与m之间的函数关系式；
（3）过点P作x轴的垂线，交抛物线于点N，延长PN到点G，使NG=PN，以PG为对角线作正方形PFGH（正方形PFGH随点P运动），当点P运动到点（2，0）时，如图2，正方形PFGH的边GF和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上．
①则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是多少？
②若点P继续向点A运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P的坐标，不必说明理由．

Answer 1

分析：（1）抛物线与x轴交于O、A两点，设抛物线的交点式，将B点坐标代入，可求抛物线解析式；
（2）根据A（10，0），B（2，2）求直线AB的解析式，由AQ=2OP=2m，得到OQ=OA-AQ=10-2m，代入直线AB的解析式，可求M点纵坐标，得出QD的表达式，根据S=

1

2

QD²求解；
（3）①将x=2代入抛物线解析式得y=2，可知N（2，2），G（2，4），当GF和EQ落在同一条直线上时，△FGQ为等腰直角三角形，则PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，代入直线AB解析式得M（6，1），即QM=1，由旋转法可知，每一个阴影部分面积等所在正方形面积的一半，由此可求两个阴影部分面积和；
②分为PF、DE，PF、CQ，GF、CD三种情况，求出相应的P点坐标．

解答：解：（1）∵抛物线过O（0，0），A（10，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x-0）（x-10），
将B（2，2）代入，得a×2×（2-10）=2，解得a=-

1

8

，
∴抛物线解析式为y=-

1

8

x（x-10）=-

1

8

x²+

5

4

x；

（2）设AB解析式为y=kx+n，将A（10，0），B（2，2）代入，
得

10k+n=0 2k+n=2

，
解得

k=- 1 4 n= 5 2

，
则y=-

1

4

x+

5

2

，
∵P（m，0），
∴OP=m，AQ=2m，OQ=10-2m，
∴当x=10-2m时，QM=-

1

4

（10-2m）+

5

2

=

1

2

m，
∴QD=m，
∵四边形QCDE是正方形，
∴S=

1

2

QD²=

1

2

m²；

（3）①由P（2，0），根据抛物线解析式可知N（2，2），
由正方形的性质得G（2，4），即PG=4，
又∵当GF和EQ落在同一条直线上时，△PGQ为等腰直角三角形，
∴PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，代入直线AB解析式得M（6，1），即QM=1，QD=2，
∴阴影部分面积和=

1

2

×（

1

2

PG²+

1

2

QD²）=5；
②P₁（2.5，0），P₂（

10

3

，0），P₃（9-

41

，0）．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据正方形对角线的性质及其与x轴垂直解题．