Question

【题目】如图，二次函数的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣4）．

（1）求该二次函数的解析；

（2）若点P、Q同时从A点出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿AB、AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．

①当点P运动到B点时，在x轴上是否存在点E，使得以A、E、Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由．

②当P、Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请直接写出t的值及D点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①存在满足条件的点E，点E的坐标为或或（﹣1，0）或（7，0）；②，

【解析】

试题分析：（1）将A，B，C点坐标代入函数中，求得b、c，进而可求解析式；

（2）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标；

（3）注意到P，Q运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由A、D对称，则AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等等性质可用t表示D点坐标，又D在E函数上，所以代入即可求t，进而D可表示．

试题解析：（1）∵二次函数的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4）．

∴，解得 ，；

①存在．如图1，过点Q作于D，此时，∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0），∵当点P运动到B点时，点Q停止运动，

Ⅰ、作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形，设则 在中，解得

说明点E在轴的负半轴上；Ⅱ、以Q为圆心，AQ长半径画圆，交轴于E，此时1.Ⅲ、当时，2.当E在A点左边时，2．当E在A点右边时，综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为或或（﹣1，0）或（7，0）．

②如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，于F，

∴四边形AQDP为菱形，

∵D在二次函数

上，或（与A重合，舍去），