Question

二次函数y=x²的图象如图所示，自原点开始依次向上作内角为60度、120度的菱形（其中两个顶点在抛物线上另两个顶点在y轴上，相邻的菱形在y轴上有一个公共点），则第2010个菱形的周长=

16080

3

．

Answer 1

分析：只要求出每个菱形的边长，找出边长之间的关系就可以了，夹角为120°很特殊，菱形由两个等边三角形组成，第一个菱形在y轴上的两个顶点之间距离为其边长，同样第二个菱形边长等于第二个菱形在y轴上的两个顶点之间的距离，以此类推，只要求出各个菱形的边长就可以看出关系．

解答：解：设第一个菱形边长为b，
则第一个菱形在x轴正向与函数y=x²交点为（

3

2

b，

1

2

b）（因为其边长与x轴夹角为30°），
代入y=x²，得b=

2

3

；
设第二个菱形边长为c，则其边长与函数交点为（

3

2

c，

1

2

c+

2

3

），
代入函数表达式得c=

4

3

=2×

2

3

，
同理得第三个菱形边长为2=3×

2

3

，第n个菱形边长为

2n

3

，故第2010个菱形边长为

4020

3

；
故其周长为：4×

4020

3

=

16080

3

．
故答案为：

16080

3

．

点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质，此题难度一般．