题目内容
如图，E为?ABCD的边BC延长线上一点，AE与BD交于点F，与DC交于点G．（1）写出所有与△ABE相似的三角形，并选择其中一对相似三角形加以证明；
（2）若BC=2CE，求
| DF |
| FB |
（3）若BC=k•CE，求
| AF |
| FG |
分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AD∥BC，平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，即可得△ABE∽△GCE∽△GDA；
（2）易证得△ADF∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可得
=
，又由BC=2CE，即可求得
的值；
（3）易证得△ECG∽△EBA，△ABF∽△GDF，根据相似三角形的对应边成比例可得：
=
，
=
，又由BC=k•CE，即可求得
的值．
（2）易证得△ADF∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可得
| DF |
| FB |
| AD |
| BE |
| DF |
| FB |
（3）易证得△ECG∽△EBA，△ABF∽△GDF，根据相似三角形的对应边成比例可得：
| CG |
| AB |
| CE |
| BE |
| AF |
| FG |
| AB |
| DG |
| AF |
| FG |
解答：解：（1）△ABE∽△GCE∽△GDA；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABE∽△GCE，△GCE∽△GDA，
∴△ABE∽△GCE∽△GDA；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴
=
，
∵BC=2CE，
∴AD：BE=2：3，
∴
=
；
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴△ECG∽△EBA，△ABF∽△GDF，
∴
=
，
=
，
∵BC=k•CE，
∴
=
=
，
∴
=
，
∴
=
，
∴
=
．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABE∽△GCE，△GCE∽△GDA，
∴△ABE∽△GCE∽△GDA；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴
| DF |
| FB |
| AD |
| BE |
∵BC=2CE，
∴AD：BE=2：3，
∴
| DF |
| FB |
| 2 |
| 3 |
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴△ECG∽△EBA，△ABF∽△GDF，
∴
| CG |
| AB |
| CE |
| BE |
| AF |
| FG |
| AB |
| DG |
∵BC=k•CE，
∴
| CG |
| AB |
| CE |
| BE |
| 1 |
| k+1 |
∴
| CG |
| DG |
| 1 |
| k |
∴
| DG |
| AB |
| k |
| k+1 |
∴
| AF |
| FG |
| k+1 |
| k |
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似与相似三角形的对应边成比例定理的应用．
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