Question

如图19，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．
【小题1】求证：AC平分∠DAB
【小题2】过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
【小题3】若CD＝4，AC＝4，求垂线段OE的长．

Answer 1

【小题1】连接OC，∵CD切⊙O于点C，∴OC⊥CD。
又∵AD⊥CD，∴OC∥AD。∴∠OCA＝∠DAC。∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC。
∴∠OAC＝∠DAC。∴AC平分∠DAB。 ………………………3分
【小题2】过点O作线段AC的垂线OE，如图所示：…………4分

【小题3】在Rt△ACD中，CD＝4，AC＝4，∴AD＝＝＝8 。                 ∵OE⊥AC，∴AE＝AC＝2。  ∵∠OAE＝∠CAD ，∠AEO＝∠ADC，∴△AEO∽△ADC。
∴＝。∴OE＝×CD＝×4＝。即垂线段OE的长为 。…………8分

解析