题目内容
（1998•南京）已知：抛物线y=x2-（m2+5）x+2m2+6．
（1）求证：不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点，并且有一个交点是A（2，0）；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为B，AB的长为d，求d与m之间的函数关系式；
（3）设d=10，P（a，b）为抛物线上一点．
①当△ABP是直角三角形时，求b的值；
②当△ABP是锐角三角形、钝角三角形时，分别写出b的取值范围（第②题不要求写出解答过程）．
（1）求证：不论m取何值，抛物线与x轴必有两个交点，并且有一个交点是A（2，0）；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为B，AB的长为d，求d与m之间的函数关系式；
（3）设d=10，P（a，b）为抛物线上一点．
①当△ABP是直角三角形时，求b的值；
②当△ABP是锐角三角形、钝角三角形时，分别写出b的取值范围（第②题不要求写出解答过程）．
分析：（1）令抛物线中y=0，即可用十字相乘法求得两根的值，由此可得证．
（2）在（1）中已经求得了两点的坐标，即可表示出AB的距离．
（3）①根据d的长以及（2）中得出的d的表达式可确定出抛物线的解析式，也就能得出A、B的坐标．可以AB为直径作圆，圆与抛物线有交点，说明抛物线上存在符合条件的P点，可根据抛物线的解析式设出P点坐标（设横坐标，根据抛物线的解析式表示出纵坐标），在直角三角形ABP中，∠APB=90°，如果过P作PQ⊥x轴于Q，那么根据射影定理可得出PQ2=AQ•QB，由此可求出P点坐标，确定出b的值；
②根据图形与①求出的b值，即可分别确定出当△ABP是锐角三角形、钝角三角形时b的取值范围．
（2）在（1）中已经求得了两点的坐标，即可表示出AB的距离．
（3）①根据d的长以及（2）中得出的d的表达式可确定出抛物线的解析式，也就能得出A、B的坐标．可以AB为直径作圆，圆与抛物线有交点，说明抛物线上存在符合条件的P点，可根据抛物线的解析式设出P点坐标（设横坐标，根据抛物线的解析式表示出纵坐标），在直角三角形ABP中，∠APB=90°，如果过P作PQ⊥x轴于Q，那么根据射影定理可得出PQ2=AQ•QB，由此可求出P点坐标，确定出b的值；
②根据图形与①求出的b值，即可分别确定出当△ABP是锐角三角形、钝角三角形时b的取值范围．
解答：解：（1）令y=0，得x2-（m2+5）x+2m2+6=0，
即（x-2）（x-m2-3）=0，
解得：x1=2，x2=m2+3，
∴一定有交点A（2，0），B（m2+3，0）
∴结论得证；
（2）∵A（2，0），B（m2+3，0）
∴d=AB=m2+1；
（3）①d=AB=m2+1=10，
∴y=x2-14x+24，
∴A（2，0），B（12，0）
以AB为直径画圆，由图可知与抛物线有两个交点，
∴存在这样的点P，
设点P坐标为（x，x2-14x+24），作P1Q⊥横轴于Q，则点Q（x，0），
易得△AQP∽△PQB，
∴
=
，
∴PQ2=AQ•BQ=（x-2）（12-x）=（x2-14x+24）2，
即（x-2）（12-x）=（x-2）2（x-12）2，（x-2）（x-12）≠0，
∴解得x=7±2
，
∴点P为（7+2
，-1），或（7-2
，-1），
则b=-1；
②当△ABP是锐角三角形时，b＜-1；当△ABP为钝角三角形时，b＞-1．
即（x-2）（x-m2-3）=0，
解得：x1=2，x2=m2+3，
∴一定有交点A（2，0），B（m2+3，0）
∴结论得证；
（2）∵A（2，0），B（m2+3，0）
∴d=AB=m2+1；
（3）①d=AB=m2+1=10，
∴y=x2-14x+24，
∴A（2，0），B（12，0）
以AB为直径画圆，由图可知与抛物线有两个交点，
∴存在这样的点P，
设点P坐标为（x，x2-14x+24），作P1Q⊥横轴于Q，则点Q（x，0），
易得△AQP∽△PQB，
∴
| AQ |
| QP |
| PQ |
| QB |
∴PQ2=AQ•BQ=（x-2）（12-x）=（x2-14x+24）2，
即（x-2）（12-x）=（x-2）2（x-12）2，（x-2）（x-12）≠0，
∴解得x=7±2
| 6 |
∴点P为（7+2
| 6 |
| 6 |
则b=-1；
②当△ABP是锐角三角形时，b＜-1；当△ABP为钝角三角形时，b＞-1．
点评：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、直角三角形的判定等知识．综合性较强，难度适中．
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