Question

【题目】如图，抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1．

（1）求抛物线L的解析式；

（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），求h的取值范围；

（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=﹣3上，△PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；(2)2≤h≤4；(3)（1，4），（0，3），（，）和（，）．

【解析】试题分析：(1)、利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)、先求出直线BC解析式为y=﹣x+3，再求出抛物线顶点坐标，得出当x=1时，y=2；结合抛物线顶点坐即可得出结果；(3)、设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），由勾股定理得出PB2=（m﹣3）2+（﹣m2+2m+3）2，PQ2=（m+3）2+（﹣m2+2m+3﹣n）2，BQ2=n2+36，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，由AAS证明△PQM≌△BPN，得出MQ=NP，PM=BN，则MQ=﹣m2+2m+3﹣n，PN=3﹣m，得出方程﹣m2+2m+3﹣n=3﹣m，解方程即可．

试题解析：(1)、∵抛物线的对称轴x=1，B（3，0）， ∴A（﹣1，0） ∵抛物线y=ax2+bx+c过点C（0，3）

∴当x=0时，c=3． 又∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）

∴， ∴∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；

(2)、∵C（0，3），B（3，0）， ∴直线BC解析式为y=﹣x+3， ∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点坐标为（1，4） ∵对于直线BC：y=﹣x+1，当x=1时，y=2；将抛物线L向下平移h个单位长度，[源:∴当h=2时，抛物线顶点落在BC上； 当h=4时，抛物线顶点落在OB上，

∴将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内（包括△OBC的边界），

则2≤h≤4；

(3)、设P（m，﹣m2+2m+3），Q（﹣3，n），

①当P点在x轴上方时，过P点作PM垂直于y轴，交y轴与M点，过B点作BN垂直于MP的延长线于N点，如图所示： ∵B（3，0）， ∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，

∴∠BPQ=90°，BP=PQ， 则∠PMQ=∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP， 在△PQM和△BPN中，，

∴△PQM≌△BPN（AAS）， ∴PM=BN， ∵PM=BN=﹣m2+2m+3，根据B点坐标可得PN=3﹣m，且PM+PN=6，

∴﹣m2+2m+3+3﹣m=6， 解得：m=1或m=0， ∴P（1，4）或P（0，3）．

②当P点在x轴下方时，过P点作PM垂直于l于M点，过B点作BN垂直于MP的延长线与N点，

同理可得△PQM≌△BPN， ∴PM=BN， ∴PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BN=m2﹣2m﹣3， 则3+m=m2﹣2m﹣3，

解得m=或． ∴P（，）或（，）．

综上可得，符合条件的点P的坐标是（1，4），（0，3），（，）和（，）．