Question

如图平面直角坐标系中，点A（1，n）和点B（m，1）为双曲线y=

k

x

第一象限上两点，连接OA、OB．
（1）试比较m、n的大小；
（2）若∠AOB=30°，求双曲线的解析式．

Answer 1

分析：（1）由于点A（1，n）和点B（m，1）都在双曲线y=

k

x

上，把点A和B的坐标分别代入反比例函数的解析式，得出用含k的代数式表示m、n的式子，即可知道m、n的大小；
（2）如果过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥x轴于D，那么首先证明△ACO≌△BDO，得出∠AOC=∠BOD=30°，然后在Rt△AOC中，由AC=1，∠AOC=30°，求出OC的值，即得到点A的坐标，由于点A在双曲线上，利用待定系数法即可求出双曲线的解析式．

解答：解：（1）∵点A（1，n）和点B（m，1）为双曲线y=

k

x

上的点，
∴n=

k

1

，1=

k

m

．（2分）
∴m=n=k（3分）

（2）过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
则∠ACO=∠BDO=90°，AC=1，OC=n，BD=1，OD=m．
∴AC=BD．
∵m=n，∴OC=OD，AC=BD．
∴△ACO≌△BDO．
∴∠AOC=∠BOD=

1

2

（∠COD-∠AOB）=

1

2

（90°-30°）=30°．
在Rt△AOC中，tan∠AOC=

AC

OC

，∴OC=

AC

tan∠AOC

=

1

tan30°

=

3

．
∴点A的坐标为（1，

3

）．
∵点A（1，

3

）为双曲线y=

k

x

上的点，
∴

3

=

k

1

，∴k=

3

．
∴反比例函数的解析式为y=

3

x

．

点评：此题综合考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定，正切函数的定义等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．