题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形OABC的两个顶点A、B的坐标分别
(1)求对角线AC所在的直线的函数表达式;
(2)把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折,点O落在平面上的点D处,求点D的坐标;
(3)在平面内是否存在点P,使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
【答案】(1)y=x+2.
(2)(-,3).
(3)(,3)或(-
,-3)或(-3
,3).
【解析】
(1)求出点C的坐标,利用待定系数法即可求出直线AC的函数表达式;
(2)过点D作DE⊥OA于点E,利用三角函数的知识,求出DE及OE的长度,即可得出点D的坐标.
(3)找到点P的可能位置,利用平行四边形对边相等的性质即可得出点P的坐标.
解:(1)由题意得,OA=2,∠CAO=30°,
则OC=OAtan∠CAO=2,
即点C的坐标为(0,2),
设直线AC的解析式为:y=kx+b,将点A及点C的坐标代入得:,
解得:,
故直线AC的函数表达式为:y=x+2.
(2)过点D作DE⊥OA于点E,
∵∠CAO=30°,
∴∠DAE=60°,
又∵AD=AO=2,
∴DE=3,AE=,
∴OE=,
故点D的坐标为(-,3).
(3)
①当AD为平行四边形的一边时,点P的位置有两个,分别为P1、P2,
当点P位于P1位置时,DP1=AO,
此时可得点P的坐标为(,3);
当点P位于P2位置时,
∵OD=AD,△AOD是等边三角形,
∴点P2与点D关于x轴对称,
此时可得点P的坐标为(-,-3);
②当AD为平行四边形的对角线时,点P的位置有一个,在P3的位置,
此时DP3=AO,
故可得点P的坐标为(-3,3).
综上可得存在点P的坐标,使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形,点P的坐标为(,3)或(-
,-3)或(-3
,3).
