题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形OABC的两个顶点AB的坐标分别

1)求对角线AC所在的直线的函数表达式;

2)把矩形OABCAC所在的直线为对称轴翻折,点O落在平面上的点D处,求点D的坐标;

3)在平面内是否存在点P,使得以AODP为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。

【答案】1y=x+2.

2)(-3).

3)(3)或(--3)或(-33).

【解析】

1)求出点C的坐标,利用待定系数法即可求出直线AC的函数表达式;
2)过点DDEOA于点E,利用三角函数的知识,求出DEOE的长度,即可得出点D的坐标.
3)找到点P的可能位置,利用平行四边形对边相等的性质即可得出点P的坐标.

解:(1)由题意得,OA=2,∠CAO=30°,
则OC=OAtan∠CAO=2,
即点C的坐标为(0,2),
设直线AC的解析式为:y=kx+b,将点A及点C的坐标代入得:
解得:
故直线AC的函数表达式为:y=x+2.

(2)过点D作DE⊥OA于点E,

∵∠CAO=30°,
∴∠DAE=60°,
又∵AD=AO=2
∴DE=3,AE=
∴OE=
故点D的坐标为(-,3).

(3)
①当AD为平行四边形的一边时,点P的位置有两个,分别为P1、P2
当点P位于P1位置时,DP1=AO,
此时可得点P的坐标为(,3);
当点P位于P2位置时,
∵OD=AD,△AOD是等边三角形,
∴点P2与点D关于x轴对称,
此时可得点P的坐标为(-,-3);
②当AD为平行四边形的对角线时,点P的位置有一个,在P3的位置,
此时DP3=AO,
故可得点P的坐标为(-3,3).
综上可得存在点P的坐标,使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形,点P的坐标为(,3)或(-,-3)或(-3,3).

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