Question

【题目】如图，已知□ABCD中，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．

（1）求证：CD=CE；

（2）若BE=CE，求证：AE⊥DE.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：（1）根据DE是∠ADC的角平分线，得到∠ADE=∠CDE，再根据平行四边形的性质得到∠ADE=∠DEC.所以∠CDE=∠DEC，根据等角对等边即可得证；
（2）先根据BE=CE结合CD=CE得到AB=BE, ∠BAE=∠BEA.

推出∠DAE=∠BAE=∠BAD.再根据平行四边形邻角互补得到∠BAD+∠ADC=180°，

∠DAE+∠ADE= (∠BAD+∠ADC)=90°，从而证明AE⊥DE.

试题解析：（1）∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ AD∥BC，

∴ ∠ADE=∠DEC.

∵ DE是∠ADC的角平分线，

∴ ∠ADE=∠CDE，

∴ ∠CDE=∠DEC，

∴ CD=CE.

（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ AB=DC.

∵ CD=CE，BE=CE

∴ AB=BE,

∴ ∠BAE=∠BEA.

∵ AD∥BC，

∴ ∠DAE=∠BEA.

∴ ∠DAE=∠BAE=∠BAD.

∵ AB∥DC，

∴ ∠BAD+∠ADC=180°，

∵ ∠ADE=∠ADC，

∴ ∠DAE+∠ADE= (∠BAD+∠ADC)=90°，

∴ ∠AED=90°,

∴ AE⊥DE.