Question

25、已知：OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是射线OA上一点（点A除外），直线BP交⊙O于点Q，
（1）如图①，若点P在线段OA上，PE=EQ，求证：QE是⊙O的切线；
（2）如图①，若点P在线段OA上，过Q作⊙O的切线交直线OA与点E．
①求证：∠OBP+∠AQE=45°；
②若点P在线段OA的延长线上，其它条件不变，∠OBP与∠AQE之间是否存在某种确定的等量关系？请你完成图②，并写出结论（不需要证明）．过Q作⊙O的切线交直线OA于点E．

Answer 1

分析：（1）可连OQ，要证QE是⊙O的切线，通过∠OBP与∠OQP的转化，证明OQ⊥QE即可，
（2）①连接AB，则△AOB是等腰直角三角形，∠OBA=45°，由弦切角定理得，∠AQE=∠QBA，所以可求得∠OBP+∠AQE=∠OBP+∠ABP=∠OBA=45°；
②连接AB，则△AOB是等腰直角三角形，∠OBA=45°；由弦切角定理得∠AQE=∠QBA，即可求得∠OBP-∠AQE=∠OBP-∠ABP=∠OBA=45度．

解答：证明：（1）证明：连接OQ；
∵BO⊥OE，
∴∠BOE=90°，
∴∠OBP+∠BPO=90°；
∵PE=EQ，
∴∠EPQ=∠EQP，
∵∠EPQ=∠BPO，
∴∠EQP=∠BPO，
又∵∠OBP=∠OQP，
∴∠EQP+∠OQP=90°，
即∠OQE=90°，
∴EQ是⊙O的切线．

（2）①证明：（1）连接AB，
∵OB=OA，OB⊥OA
∴△AOB是等腰直角三角形，∠OBA=45°
∵EQ是切线
∴∠AQE=∠QBA
∴∠OBP+∠AQE=∠OBP+∠ABP=∠OBA=45°；

解：②如图，连接AB
∵OB=OA，OB⊥OA
∴△AOB是等腰直角三角形，∠OBA=45°
∵EQ是切线
∴∠AQE=∠QBA
∴∠OBP-∠AQE=∠OBP-∠ABP=∠OBA=45°．

点评：此题主要考查了切线的判定与性质和等腰三角形的性质，根据求证的结论，使用分析推敲证明过程中所需要的条件，进而分析添加辅助线的方法，是平面几何证明必须掌握的技能，大家一定要熟练掌握，而在（2）中根据已知条件分析转化的方向也是解题的主要思想．解决就是寻找解题的思路，由已知出发，找寻转化方向和从结论出发寻找转化方向要结合在一起使用．