Question

（2012•南平）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．
（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）
答：结论一：

AB=AC

；
结论二：

∠AED=∠ADC

；
结论三：

△ADE∽△ACD

．
（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）

Answer 1

分析：（1）由∠B=∠C，根据等腰三角形的性质可得AB=AC；由∠1=∠C，∠AED=∠EDC+∠C得到∠AED=∠ADC；又由∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD；
（2）①由∠B=∠C，∠B=45°可得△ACB为等腰直角三角形，则AC=

2

2

BC=

2

2

×2=

2

，由∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得△ADE∽△ACD，则有AD：AC=AE：AD，即AD²=AE•AC，
AE=

AD2

AC

=

AD2

2

=

2

2

•AD²，当AD⊥BC，AD最小，且AD=

1

2

BC=1，此时AE最小为

2

2

，利用CE=AC-AE得到CE的最大值；
②讨论：当AD=AE时，则∠1=∠AED=45°，得到∠DAE=90°，则点D与B重合，不合题意舍去；当EA=ED时，如图1，则∠EAD=∠1=45°，所以有AD平分∠BAC，得到AD垂直平分BC，则BD=1；
当DA=DE时，如图2，由△ADE∽△ACD，易得△CAD为等腰三角形，则DC=CA=

2

，于是有BD=BC-DC=2-

2

．

解答：解：（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；

（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴AC=

2

2

BC=

2

2

×2=

2

，
∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴AD：AC=AE：AD，即AD²=AE•AC，
∴AE=

AD2

AC

=

AD2

2

=

2

2

•AD²，
当AD最小时，AE最小，此时AD⊥BC，AD=

1

2

BC=1，
∴AE的最小值为

2

2

×1²=

2

2

，
∴CE的最大值=

2

-

2

2

=

2

2

；
②当AD=AE时，
∴∠1=∠AED=45°，
∴∠DAE=90°，
∴点D与B重合，不合题意舍去；
当EA=ED时，如图1，
∴∠EAD=∠1=45°，
∴AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BC，
∴BD=1；
当DA=DE时，如图2，
∵△ADE∽△ACD，
∴DA：AC=DE：DC，
∴DC=CA=

2

，
∴BD=BC-DC=2-

2

，
∴当△ADE是等腰三角形时，BD的长为1或2-

2

．

点评：本题考查了相似形综合题：运用相似比进行线段的计算；熟练掌握等腰直角三角形的性质；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．